Sur une classe de polynômes qui se présentent dans la théorie des fonctions cylindriques. (Q1513996)

Die Arbeit stellt sich die Aufgabe, die allgemeinste Function \(F\) zu bestimmen, welche der für die Bessel'schen Functionen geltenden Recursionsformel \[ F^{\mu+1}(x)= \frac{2\mu}x F^\mu(x) - F^{\mu-1}(x)\tag{I} \] genügt, in der \(\mu\), ebenso wie \(x\), beliebige reelle oder complexe Werte haben kann. Die Lösung der Aufgabe stützt sich auf die Betrachtung der schon früher von Lommel und Graf untersuchten Function \[ R^{\mu,n}(x) = \sum_{=0}^{<\frac{n+1}2} (-1)^s \frac{(n-s)!}{s!} \binom{\mu+n-s}{n-2s}\fracwithdelims()2x^{n-2s},\tag{2} \] in der \(n\) eine ganze Zahl vorstellt. Diese Function spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der Bessel'schen Functionen, mit denen sie durch die Gleichung \[ C^{\mu+n}(x)J^\mu(x) - C^\mu(x)J^{\mu+n}(x) = \frac{\sin(2\mu\pi)}{2\pi} \frac2x R^{\mu,n-1}(x)\tag{1} \] zusammenhängt, wobei \(C^\mu(x) = \cos(\mu\pi)J^{-\mu}(x)\) ist. Die Gleichung (1) ist vom Verf. früher abgeleitet (Math. Ann. 52; F. d. M. 30, 417, 1899, JFM 30.0417.02). Aus (I) folgt zunächst, dass man auch \(F^{\mu+n}\) durch \(F^\mu\) und \(F^{\mu-1}\) ausdrücken kann. Die in diesem Ausdruck auftretenden Coefficienten ergeben sich, indem man für \(F^{\mu+n}\) die speciellen Werte \(J^{\mu+n}\) und \(C^{\mu+n}\) setzt und Gleichung (1) anwendet. So erhält man: \[ F^{\mu+n} = R^{\mu-1,n}(x) F^\mu(x) - R^{\mu,n-1}(x) F^{\mu-1}(x).\tag{4} \] Weiter wird für die Function \(R\) eine Reihe von Formeln abgeleitet, z. B.: \[ R^{\mu-n,n-1}(x) = (-1)^{n-1}R^{-\mu,n-1}(x),\tag{6} \] \[ \fracwithdelims()2x^n R^{\mu-1,n}(x) = \sum_{s=0}^{s=n}(\mu+2s)\binom ns \frac{\Gamma(\mu+s)}{\Gamma(\mu+n+s+1)} R^{\mu-1,2s}(x),\tag{11} \] \[ R^{\nu-1,n}(y) - R^{\mu-1,n}(x) = 2\sum_{p=0}^{p=n-1} \left(\frac{\nu+p}y - \frac{\mu+p}x\right) R^{\nu-1,p}(y)R^{\mu+p,n+p-1}(x),\tag{15} \] nebst vielen anderen, die sich zum Teil schon bei Lommel (Studien über Bessel'sche Functionen und Math. Ann. 3), Graf (cf. F. d. M. 26, 526, 1895, JFM 26.0526.01) und Crelier (cf. F. d. M. 27, 366, 1896, JFM 27.0366.03) finden. (Die letztgenannten Autoren bezeichnen die Function mit \(P\) statt mit \(R\) und nennen sie Schläfli'sche Function). --- Bei der Ableitung der in Rede stehenden Formen wendet der Verfasser drei verschiedene Methoden an. Einmal benutzt er die zwischen zwei verschiedenen Lösungen \(F\), \(F_1\) der Gleichung (II) bestehende Relation \[ F^\mu(x) F_1^{\mu-1}(x) - F^{\mu-1}(x)F_1^\mu(x) = f^\mu(x),\tag{\(\alpha\)} \] in der \(f^\mu(x)\) eine periodische Function von \(\mu\) ist mit der additiven Periode 1. Die zweite Methode beruht darauf, dass jede Gleichung von der Form \[ \sum_{n=p}^{n=p'} g^{\mu+n}(x)J^{\mu+n}(x) = \sum_{m=q}^{m=q'} h^{\mu+m}(x)J^{\mu+m}(x) \] auch gültig bleibt, wenn man die Bessel'sche Function \(J\) durch die allgemeinere Function \(F\) ersetzt. Der dritten Methode endlich liegt die Betrachtung einer neuen Functionalgleichung zu Grunde, die aus (I) erhalten wird, wenn man auf der rechten Seite noch eine gegebene Function von \(x\) hinzufügt. Wendet man die Relation \((\alpha)\) einmal auf \(F_1^\mu = J^\mu\), sodann auf \(F_1^\mu = Y^\mu\) an, wo \[ Y^\mu(x) = \frac{\pi}{\sin(\mu\pi)} [\cos(\mu\pi) J^\mu(x) - J^{-\mu}(x)] \] das Doppelte der Schläfli'schen complementären Function \(K^\mu(x)\) ist, und benutzt die aus (1) folgende Relation zwischen \(J^\mu\), \(Y^\mu\), \(J^{\mu-1}\), \(Y^{\mu-1}\), so ergiebt sich \[ F^\mu(x) = b^\mu(x)J^\mu(x) - a^\mu(x)Y^\mu(x).\tag{22} \] Darin sind \(a^\mu(x)\) und \(b^\mu(x)\) Functionen von \(\mu\) und \(x\), die in Bezug auf \(\mu\) die additive Periode 1 besitzen. Zur Bestimmung dieser Functionen muss der Grenzwert von \(F^{\mu\pm n}\) für \(n=\infty\) gegeben sein. Falls man verlangt, dass \(F\) ausser der Gleichung (II) noch der zweiten Recursionsformel der Bessel'schen Function: \[ F^{\mu-1}(x) - F^{\mu+1}(x)= 2\frac{dF^\mu(x)}{dx}\tag{I} \] genügt, so sind \(a^\mu\) und \(b^\mu\) von \(x\) unabhängig. Zum Schluss wird noch \(F^{\mu-1}(x):F^\mu(x)\) in einen endlichen Kettenbruch entwickelt, und es wird aus \((\alpha)\) die Gleichung abgeleitet \[ \frac{F_1^\mu(x)}{F^\mu(x)} = \frac{F_1^{\mu+n}(x)}{F^{\mu+n}(x)} + \sum_{p=0}^{p=n-1} \frac{f^\mu(x)}{F^{\mu+p+1}(x)F^{\mu+p}(x)}, \] nebst einer analogen, in der \(-n\) an Stelle von \(n\) steht.