Congruences relating to the sums of products of the first \(n\) numbers and to other sums of products. (Q1514068)

Sind \(a_1\), \(a_2\), ..., \(a_i\) irgend welche Zahlen, so wird die Summe aller Producte der \(a\) zu \(r\) Factoren mit \(S_r(a_1,a_2,\dots,a_i)\) verstanden. Ersetzt man im Ausdruck von \(S_r\) das einzelne Glied \(a_{\nu_1}\), \(a_{\nu_2}\), ..., \(a_{\nu_r}\) durch: \[ a_{\nu_1}a_{\nu_2}\dots a_{\nu_r}(l-a_{\nu_1})(l- a_{\nu_2})\cdots(l- a_{\nu_r}), \] wo \(l\) alle Zahlen \(a\) übertreffen soll, so möge die entstehende Summe durch \(\sigma_r(a_1,a_2,\dots,a_i;l)\) bezeichnet werden. \(S_r(1,2,3,\dots, n-1)\) wird insbesondere durch \(A_r\) bezeichnet, so dass \(A_1\), \(A_2\), ..., \(A_{n-1}\) die Coefficienten in \((x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)\), entwickelt nach Potenzen von \(x\), sind: \[ \begin{multlined} (x+1)(x+2)\cdots(x+n-1) = x^{n-1} + A_1x^{n-2}\\ + A_2x^{n-3} + \cdots + A_{n-2}x + A_{n-1}.\end{multlined} \] Die Untersuchung betrifft Relationen zwischen den erklärten Grössen und namentlich Congruenzen, welche für dieselben bestehen. So wird z. B. gezeigt dass \(S_{2t}(a_1,\dots,a_i,l-a_1,\dots,l-a_i)\) ausgedrückt werden kann durch \(\sigma_t(a_1,a_2,\dots,a_i;l),\,\sigma_{t-1}(a_1,a_2,\dots,a_i; l)\), \(\dots\). Die Congruenzen beziehen sich auf den Fall, dass die \(a\) aus den Zahlen 1, 2,..., \(n\) bestehen, d. h. auf die \(A\). Besonders bemerkenswert dürften die Sätze sein: Ist \(n\) Primzahl, so gilt \[ \begin{aligned} &A_{n-1}\equiv-1\quad(\text{mod. }n)\quad(\text{Theorem von Wilson}),\\ &A_{n-2}\equiv 0\quad(\text{mod. }n^2)\quad(\text{Theorem von Wolstenholme}),\\ &A_r\equiv 0\quad(\text{mod. }n)\quad(\text{Theorem von Ferrers}),\end{aligned} \] wo im letzten Falle \(r\gtrless n-1\) sein soll. Der Verf. reiht hieran eine grössere Reihe ähnlicher Congruenzen, welche sich auch auf die Fälle beziehen, dass \(n-1\) eine ungerade Primzahl ist, und dass \(n\) das Doppelte einer Primzahl \(>3\) bedeutet. Die geschlossenen Ausdrücke für die \(A\) werden bis \(r=7\) incl. berechnet: \[ A_1 = \frac12n(n-1),\,A_2 = \frac1{24}n(n-1)(n-2)(3n-1),\dots. \] Auch wird eine Tabelle der Werte \(A\) bis \(n=22\) mitgeteilt.