On a set of coefficients analogous to the Eulerian numbers. (Q1514072)

(siehe auch JFM 30.0181.01) In diesen beiden Aufsätzen handelt es sich um das Studium der Coefficienten von Potenzreihen, die nicht mehr ein ganz übersichtliches Gesetz verfolgen, bei denen jedoch für die Berechnung der Coefficienten Recursionsformeln einer gleich anzugebenden Gestalt zur Verfügung stehen. Als Prototyp für die behandelten Ansätze gilt die Entwicklung des reciproken Wertes von \(\cos x\): \[ \frac1{\cos x} = 1 + \frac{E_1}{2!}x^2 + \frac{E_2}{4!}x^4 + \frac{E_3}{6!}x^6 + \cdots. \] Hier sind die ganzzahligen \(E_1\), \(E_2\), ... die sogenannten Euler'schen Zahlen. Für dieselben gilt die Recursionsformel: \[ \begin{multlined} E_n - (2n)_2E_{n-1} + (2n)_4E_{n-2} - \cdots + (-1)^{n- 1}(2n)_{2n-2}E_1\\ + (-1)^n(2n)_{2n}E_0 = 0.\end{multlined} \] Der Verf. behandelt nun einen sehr viel allgemeineren Ansatz, der die Coefficienten zahlreicher weiteren Potenzreihen, z. B. derjenigen für \(\frac1{2\cos x\pm1}\), \(\frac{2\cos x}{2\cos2x+1}\), \(\frac{\cos x}{\cos2x}\), \(\frac{\cos^2x}{\cos3x}\), ..., wie auch die Euler'schen Zahlen als specielle Fälle umfasst. Die Grössen \(X_0\), \(X_1\), \(X_2\), ... sollen durch die Recursionsformel verknüpft sein: \[ (\lambda+1)a^nX_n + (n)_1a^{n-1}bX_{n-1} + (n)_2a^{n-2}b^2X_{n-2} + \cdots + (n)_nb^nX_0 = c_n. \] Hier bedeuten die Symbole \((n)_1\), \((n)_2\), ... die Binomialcoefficienten, \(\lambda\) ist eine Constante, \(a\), \(b\) sind gegebene ganze Zahlen, und \(c_n\) ist eine derart von \(n\) abhängende Grösse, dass für zwei modulo \((p-1)\) cougruente Indices \(n\) und \(n'\) die zugehörigen \(c_n\) und \(c_{n'}\) eine durch \(p\) teilbare Differenz aufweisen; \(p\) bedeutet hierbei eine gegebene ungerade Primzahl. Die an diesen Ansatz angeschlossenen umfänglichen Betrachtungen betreffen nun Congruenzen bezüglich des Moduls \(p\), welche zwischen den \(X\) sowohl im allgemeinen Falle, wie in besonders wichtigen Specialfällen bestehen. Es handelt sich dabei um zahlreiche Einzelresultate, welche man an Ort und Stelle nachsehen muss. Der zweite Aufsatz betrifft Specialausführungen über diejenigen Coefficienten \(J_0\), \(J_1\), \(J_2\), \(J_3\), ..., welche sich bei der Potenzreihenentwicklung: \[ \frac1{e^x+e^{-x}+1} = \frac23\left[J_0 - \frac{J_1}{2!}x^2 + \frac{J_2}{4!}x^4 - \frac{J_3}{6!}x^6 + \cdots\right] \] einfinden.