The second complementary law to the cubic reciprocity law. (Q1514084)

Die beiden Ergänzungssätze zum quadratischen Reciprocitätsgesetze: \[ \left(\frac{-1}n\right) = (-1)^{\frac{n-1}2},\quad\left(\frac2n\right) = (-1)^{\frac{n^2-1}8} \] regeln den quadratischen Charakter von \(-1\) und 2 bezüglich \(n\). Von diesen beiden Sätzen ist der zweite auf den ersten durch Kronecker und Gegenbauer zurückgeführt. Zwei entsprechende Ergänzungssätze des biquadratischen Reciprocitätsgesetzes: \[ \left(\left(\frac{1+i}{a+bi}\right)\right) = i^{\frac{a-b^2-b- 1}4},\quad\left(\left(\frac i{a+bi}\right)\right) = i^{\frac{a^2+b^2-1}4} \] regeln den biquadratischen Charakter von \(1+i\), bez. \(i\) bezüglich \(a+bi\). In der ersten der beiden genannten Abhandlungen (siehe JFM 30.0184.04) zeigt der Verf. vermöge einer ziemlich ausgedehnten Entwicklung, wie man auch im biquadratischen Falle den zweiten Ergänzungssatz auf den ersten zurückzuführen vermag. Weit leichter gelingt die Lösung der analogen Aufgabe bei den kubischen Resten in der zweiten Abhandlung.