Complete solution of the equation \(m\arctan\frac1x+n\arctan\frac1y=k\frac{\pi}4\) in integers. (Q1514095)

Es handelt sich um alle Lösungen der in der Ueberschrift angegebenen Gleichung in ganzen Zahlen \(k\), \(m\), \(n\), \(x\), \(y\). Wegen der Beziehung der Function \(arctan\) zum Logarithmus kann man die vorgelegte Gleichung auch so schreiben: \[ (x+i)^m(y+i)^n = i^k(x-i)^m(y-i)^n. \] Man hat hierdurch eine einfache rationale Gleichung zwischen ganzen complexen Zahlen der Gestalt \(a+bi\) erhalten. Der Verf. macht demnach zur Lösung seiner Aufgabe von einigen wenigen diese complexen Zahlen betreffenden arithmetischen Sätzen Gebrauch. Es giebt im ganzen vier Lösungen: \[ \begin{aligned} \arctan\frac12 &+ \arctan\frac13 = \frac{\pi}4,\\ 2\arctan\frac12 &- \arctan\frac17 = \frac{\pi}4,\\ 2\arctan\frac13 &+ \arctan\frac17 = \frac{\pi}4,\\ 4\arctan\frac15 &- \arctan\frac1{239} = \frac{\pi}4,\end{aligned} \] von denen die erste bereits durch Euler, die dritte durch Vega und die vierte durch Machin gefunden war.