Notes to one theorem by Mr. J.J.Sylvester on the number of primes in one interval. (Q1514100)

Nach dem Satze von Sylvester ist die Anzahl der Primzahlen \(p\) des Intervalls \(m<p<2m\) durch die grösste in der Summe: \[ \left(\sum_{x=1}^{x=[2m]}H\fracwithdelims()mx \mu(x)\right)_{\sqrt{2m}} \] enthaltene ganze Zahl gegeben. Hier bedeutet \(H(\alpha)\) die an \(\alpha\) nächst gelegene ganze Zahl resp. \(\alpha\) selbst, letzteres falls \(2\alpha\), aber nicht \(\alpha\) ganzzahlig ist. Durch den Index \(\sqrt{2m}\) wird angedeutet, dass der Summationsbuchstabe \(x\) im Intervall \(1\leqq x\leqq[2m]\) nur jene ganzzahligen Werte durchlaufen soll, welche aus den \(\sqrt{2m}\) nicht übersteigenden Primzahlen multiplicativ erzeugt sind. Verf. beweist, dass dieser Satz im wesentlichen identisch ist mit dem Specialfalle: \[ \Theta(2m) - \Theta(m) = \left(\sum_{x=1}^{x=[2m]}\left[\frac mx+\frac12\right]\mu(x)\right)_{\sqrt{2m}} \] eines früher von ihm betrachteten allgemeinen Theorems. Hierbei bedeutet \(\Theta(\alpha)\) die Anzahl der Primzahlen unterhalb \(\alpha\). Auch ist das Sylvester'sche Theorem eine unmittelbare Folge einer von Legendre zur Abzählung der Primzahlen innerhalb der ersten Million benutzten Relation, welche der Verf. bei einer früheren Gelegenheit betrachtete.