Contribution to the theory of Riemann's \(\zeta(s)\) function. (Q1514106)

Für die Ableitung des reciproken Wertes der Riemann'schen \(\zeta\)-Function gilt: \[ \frac{\zeta'(s)}{\zeta^2(s)} = \sum_{k=1}^\infty\frac{\mu(k)\log k}{k^s}, \] unter \(\mu(k)\) eine neuerdings vielfach betrachtete zahlentheoretische Function verstanden. Ist die rechts stehende Reihe für \(s=1\) convergent, so ist leicht zu sehen, dass ihr Summenwert \(-1\) ist. Bereits 1832 behauptete Möbius die Gültigkeit der Gleichung: \[ \sum_{k=1}^\infty\frac{\mu(k)\log k}{k}=-1. \] Den ersten Beweis für die Richtigkeit dieser Gleichung liefert der Verf. in der vorliegenden Note.