On the number of ideal classes in pure cubic number fields. (Q1514116)

Das Hauptergebnis der vorliegenden Abhandlung, die geradezu als eine Theorie der rein kubischen Zahlkörper angesehen werden kann, hat der Verf. bereits bei Anzeige des Bachmann'schen Buches über Kreisteilung (F. d. M. 4, 78, 1872, JFM 04.0078.01) mitgeteilt. Aus der Gleichung \(x^3=d\) (\(d\) ganz rational) entspringt ein reiner kubischer Körper \(K\), dessen Grundzahl mit \(D\) bezeichnet sei. Dann zerfallen alle nicht äquivalenten, ursprünglichen, positiven quadratischen Formen mit der Determinante \(D\) in drei Abteilungen von gleich vielen Individuen, deren erste eine Gruppe bildet, durch deren Formen alle und nur solche Primzahlen \(p\) dargestellt werden, von welchen \(d\) kubischer Rest ist. Mit Hülfe desselben wird die Bestimmung der Anzahl der Idealklassen des kubischen Körpers auf die Theorie der \(\Theta\)-Functionen zurückgeführt. Zunächst lassen sich alle in \(K\) enthaltenen Zahlen \(\varkappa\) in der Form darstellen: \[ \varkappa = z + x\alpha + y\beta,\tag{1} \] wo \(z\), \(x\), \(y\) beliebige rationale Zahlen bedeuten, und wo sich zugleich \(\alpha^3\), \(\beta\) durch zwei natürliche Zahlen \(a\), \(b\) derart ausdrücken lassen, dass: \[ \alpha^3=ab^2,\quad \beta^3=a^2b.\tag{2} \] Diese beiden natürlichen Zahlen \(a\), \(b\), durch die der reine kubische Körper \(K\) völlig bestimmt ist, heissen die Invarianten von \(K\). Die Grundzahl \(D\) von \(K\) ist von der Gestalt: \[ D = -3k^2,\tag{3} \] wo \(k\) eine natürliche Zahl bedeutet. Die Bestimmung dieser fundamentalen Zahl \(k\) wird erleichtert, wenn man zuvor alle in \(3ab\) aufgehenden Primideale von \(K\) aufsucht, unter denen sich jedenfalls auch alle in \(D\) aufgehenden Primideale befinden. Es sind hierbei zwei Hauptfälle zu unterscheiden, je nachdem \(k=3ab\) oder \(k=ab\); \(K\) heisst dann ein Körper erster, resp. zweiter Art. Es erweist sich weiterhin als notwendig, auch alle diejenigen natürlichen Primzahlen \(p\), die nicht in \(D\) aufgehen, in ihre idealen Primfactoren \(\mathfrak p\) zu zerlegen. Das Verhalten von \(p\) ist ganz verschieden, je nachdem \(p\) von der Form \(3m-1\) oder aber von der Form \(3m+1\) ist. Im ersten Fall ist \(\mathfrak op\) ein Product von zwei verschiedenen Primidealen \(\mathfrak p\), \(\mathfrak p_1\) von denen das eine vom ersten, das andere vom zweiten Grade ist (so dass \(N(\mathfrak p)=p\), \(N(\mathfrak p_1)=p^2\)). Im anderen Falle dagegen zerfällt \(\mathfrak op\) in ein Product von 3 Primidealen ersten Grades oder ist selbst ein Primideal dritten Grades, je nachdem \(ab^2\) kubischer Rest oder Nichtrest von \(p\) ist. Nach diesen Vorbereitungen wendet sich der Verf. zu seiner Hauptaufgabe, der Bestimmung der Anzahl \(h\) der Idealklassen in \(K\). Die Grundlage bildet die Dirichlet'sche Ideal-Function \(J(s)\): \[ J(s) = \sum\frac1{N(\mathfrak a)^s} = \prod\frac1{1-\frac1{N(\mathfrak p)^2}},\tag{4} \] wo \(\mathfrak a\) in der Summe alle Ideale und \(\mathfrak p\) in dem Producte alle Primideale von \(K\) durchläuft. Insonderheit kommt es auf das Verhalten von \(J\) für unendlich kleine positive Werte von \(s-1\) an. Man erhält für den vorliegenden Fall des Körpers \(K\): \[ \lim(s-1)J = h\frac{2\pi l\varepsilon}{K\sqrt3},\tag{5} \] wo \(\varepsilon\) eine Einheit des Körpers \(K\) derart ist, dass alle übrigen Einheiten in \(K\) durch \(\pm\varepsilon^m\) ausgedrückt sind, indem \(m\) alle ganzen rationalen Zahlen durchläuft. Für die Bildung der Function J erweist sich die Theorie der kubischen Reste als durchaus erforderlich, die schon auf Gauss zurückgeht und von Jacobi, Eisenstein u. a. weiter ausgebildet worden ist. Der Betrachtung liegt der durch die imaginäre dritte Einheitswurzel \(\varrho\) erzeugte quadratische Körper \(Q\) von der Grundzahl \(-3\) zu Grunde, der aus allen Zahlen \(\omega=x+y\varrho\) (\(x\), \(y\) rational) besteht. \(Q\) besitzt die 6 Einheiten \(\pm1\), \(\pm\varrho\), \(\pm\varrho^2\), und alle Ideale in \(Q\) sind Hauptideale, d. h. jede ganze Zahl, die nicht gleich 0 oder eine Einheit ist, ist entweder eine Primzahl \(\pi\) in \(Q\) oder aber lässt sich auf eine einzige Art als Product von lauter Primzahlen \(\pi\) darstellen. Mittels eines dem Legendre'schen Symbol von Jacobi nachgebildeten Symbols \(\fracwithdelims(){\omega}{\pi}\) lässt sich das kubische Reciprocitätsgesetz in einfacher Form angeben. Daraufhin wird jeder Primzahl \(\pi\) in \(Q\) eine gewisse Function \(\psi(\pi)\) zugeordnet, die für die Untersuchung der Idealfunction \(J(s)\) von der grössten Wichtigkeit ist. Denn man erhält die Zerlegung: \[ J = GH,\quad G = \sum\frac1{n^s},\quad H = \prod\frac1{1- \frac{\psi(\pi)}{N(\pi)^2}},\tag{6} \] wo \(n\) alle natürlichen Zahlen durchläuft und \(\pi\) alle wesentlich verschiedenen Primzahlen \(\pi\) in \(Q\). Das Product \(H\) lässt sich ebenfalls in eine Summe \(H\) von einfachem Charakter umwandeln. Mit Hülfe der aus dem kubischen Reciprocitätsgesetz hervorgehenden Eigenschaften der Function \(\psi\) gelingt es weiter, die Summe \(H\) so umzuformen, dass die Bestimmung der Klassenanzahl \(h\) auf die Theorie der complexen Multiplication der elliptischen Functionen zurückgeführt wird.