Studi sulle equazioni differenziali lineari. (Q1514309)

In der ersten Abhandlung wird für die Integration der linearen Differentialgleichung \[ \varphi(y)\equiv a_0y^{(n)} + a_1y^{(n-1)} +\cdots+ a_{n-1}y' + a_ny = X\tag{1} \] folgende Formel gegeben, die für jeden Bereich von \(x\) gültig ist, in dem die Function \(X\) und die Coefficienten \(a_0\), \(a_1\), ..., \(a_n\) regulär sind und \(a_0\) ausserdem von Null verschieden ist. Bedeuten im folgenden \(z_1\), \(z_2\), ..., \(z_n\) \(n\) willkürliche Functionen von \(x\), die in demselben Bereich regulär sind und so beschaffen, dass die Determinante \(Q=\sum\pm z_1z_2'\dots z_n^{(n-1)}\) von Null verschieden ist, bezeichnet man ferner mit \(\varepsilon_{n+1}z_r\) \((\varepsilon_s=(-1)^s)\) die adjungirte Function von \(\varphi(y)\) für \(y=z_r\) und mit \(Q_c\), \(q_{x,x_1}\) und \(\mathfrak q_{x,x_1}\) die Determinanten, die aus \(Q\) hervorgehen, wenn man an Stelle der Elemente der letzten Colonne: \(z_1^{(n- 1)},\,z_2^{(n-1)},\,\dots,\,z_n^{(n-1)}\) resp. die Constanten \(c_1\), \(c_2\), ..., \(c_n\), die Functionen von \(x_1\): \(z_1(x_1),z_2(x_1),\dots,z_n(x_1)\) und die Functionen von \(x_1\): \(Z_1(x_1),Z_2(x_1),\dots,Z_n(x_1)\) setzt, so lautet das allgemeine Integral \(y\) von (1), wenn zur Abkürzung noch \(A_x=Q_c+\int_a^x X(x_1)q_{x,x_1}dx_1\) gesetzt wird: \[ \left\{\begin{aligned} y = \frac{\varepsilon_{n-1}A_x}{a_0Q)_x} &+ \varepsilon_{n-1}^2\int_a^x A_{x_1}\mathfrak q_{x,x_1}dx_1\\ &+ \frac{\varepsilon_{n-1}^3}{a_0Q)_x}\int_a^x\frac{\mathfrak q_{x,x_1}dx_1}{(a_0Q)_{x_1}}\int_a^x\frac{A_{x_2}\mathfrak q_{x_1,x_2}}{(a_0Q)_{x_2}}dx_2 +\cdots+\end{aligned}\right.\tag{2} \] \[ \left\{\begin{aligned} + \frac{\varepsilon_{n- 1}^{m+1}}{a_0Q)_x}\int_a^x\frac{\mathfrak q_{x,x_1}}{(a_0Q)_{x_1}}dx_1 &\int_a^{x_1}\frac{\mathfrak q_{x,x_2}}{(a_0Q)_{x_2}}dx_2\int_a^{x_2}\dots\\ &\int_a^{x_{m-2}}\frac{\mathfrak q_{x_{m-2},x_{m-1}}}{(a_0Q)_{x_{m-1}}}dx_{m-1} \int_a^{x_{m-1}}\frac{A_{x_m}\mathfrak q_{x_{m- 1}x_m}}{(a_0Q)_{x_m}}dx_m\end{aligned}\right. \] \(+\cdots\), worin \(\alpha\) ein specieller Wert von \(x\) in dem erwähnten Bereich ist. Es wird gezeigt, dass die Reihe für die betrachteten Werte von \(x\) stets gleichmässig convergirt. Wegen der Willkürlichkeit der Functionen \(z_1\), \(z_2\), ..., \(z_n\) stellt der Ausdruck (2) das Integral von (1) unter unendlich vielen Formen dar. --- Die zweite Abhandlung beschäftigt sich mit Anwendungen der Formel (2), von denen wir hier die Untersuchungen hervorheben, die das Verhalten der Integrale der Gleichung (1) bei der Zunahme von \(x\) ins Unendliche durch positive Werte von \(x\) betreffen. Hierzu werden für \(z_1\), ..., \(z_n\) die Functionen \(e^{\omega_1x}\), \(e^{\omega_2x}\), ..., \(e^{\omega_n1x}\) genommen, wo \(\omega_1\), ..., \(\omega_n\) passend gewählte Constanten bezeichnen. Die Resultate erscheinen als Verallgemeinerung der Ergebnisse, die Kneser in dieser Beziehung auf anderem Wege für lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung gefunden hat. Andere Anwendungen werden gemacht, indem \(z_1=1\), \(z_2=x\), ..., \(z_{n-1}=x^{n-2}\) gesetzt und \(z_n\) dadurch bestimmt wird, dass \(z_n^{(n-1)}=\frac1{\prod(1)\prod(2)\dots\prod(n-2)\cdot a_0}\) ist. Man erhält dann aus (2) das Integral in Form einer Summe von Reihen von ganzen positiven und negativen Potenzen von \(x\) und von ganzen positiven Potenzen von \(\log x\), gültig für einen Ring, in dem weder \(x=0\) noch die Nullstellen von \(a_0\) enthalten sind. Von speciellen Gleichungen, die nach dieser Methode behandelt sind, erwähnen wir die Bessel'sche, die Legendre'sche und die, der die elliptischen Periodicitätsmoduln genügen.