Ueber die irregulären Integrale der linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit rationalen Coefficienten. (Q1514341)

In der grundlegenden Abhandlung in Acta Math. 8 hat Poincaré für die asymptotische Darstellung des Integrals einer linearen Differentialgleichung \(n\)ter Ordnung in \(x=\infty\), falls der Unendlichkeitspunkt eine Stelle der Unbestimmtheit ist, die Differentialgleichungen höheren Ranges auf die vom Range 1 zurückgeführt; aber die ersteren bedürfen noch einer eingehenden Untersuchung, die Verf. zunächst für die linearen Differentialgleichungen in Anknüpfung an die Arbeiten Poincaré's durchführt. Das Resultat ist im folgenden Satze enthalten: Es sei: \[ P_0\frac{d^2y}{dx^2} + P_1\frac{dy}{dx} + P_2y = 0,\tag{1} \] wo \[ P_0 = x^m+\cdots,\,P_1 = a_1x^{m+p-1}+\cdots,\,P_2 = a_2x^{m+2p- 2}+\cdots, \] die gegebene Differentialgleichung, also für \(x=\infty\) vom Range \(p\); die charakteristische Gleichung \[ \alpha^2 + a_1\alpha + a_2 = 0 \] habe zwei verschiedene Wurzeln \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), beide reell und \(\alpha_1>\alpha_2\) (worin keine Beschränkung liegt), so dass (1) durch 2 Normalreihen \[ S_i = e^{a_i\frac{x^p}p + a_{i1}\frac{x^{p-1}}{p-1} +\cdots}\cdot x^{\varrho_i}\sum\frac{C_{i\mu}}{x^\mu}\quad(i=1,2;\,\mu=0,\dots,\infty) \] formell befriedigt wird. Dann besitzt die Differentialgleichung \(2p\) ausgezeichnete Integrale \(\eta^0\), \(\eta^1\), ..., \(\eta^{(2p-1)}\) von der Art, dass \(\eta^{(\varrho)}\) in der Nähe von \(x=\infty\) für \(\frac{2\varrho-3)\pi}{2p}+\delta<\arg x<\frac{2\varrho+3)}{2p}\pi-\delta\) (\(\delta\) eine beliebig kleine positive Grösse) bei ungeradem \(\varrho\) durch \(S_1\), bei geradem \(\varrho\) durch \(S_2\) gleichmässig asymptotisch dargestellt wird. Diese asymptotische Darstellung wird dann benutzt, um über die Lage der Nullstellen der Integrale in der Umgebung von \(x=\infty\) Aufschluss zu geben und den Begriff des Geschlechtes einer ganzen transcendenten Function mit dem des Ranges einer linearen Differentialgleichung an einer Unbestimmtheitsstelle in Verbindung zu bringen, derart, dass der letztere als Verallgemeinerung des ersteren erscheint. Zuletzt folgt die Zurückführung des Falles, wo die charakteristische Gleichung zwei gleiche Wurzeln hat, auf den vorhergehenden Fall, wobei statt der Normalreihen \(S_1\) und \(S_2\) anormale Reihen auftreten.