Ueber lineare Differentialgleichungen mit einem willkürlichen Parameter. (Q1514343)

Im ersten Aufsatz (siehe JFM 30.0300.01) wird die bei verschiedenen Problemen der mathematischen Physik auftretende Differentialgleichung \[ \frac{d\left(A\frac{dy}{dx}\right)}{dx} + (k^2B + C)y = 0\tag{1} \] betrachtet, worin \(k^2\) ein willkürlicher Parameter und \(A\), \(B\), \(C\) reelle Functionen sind, die für \(a\leqq x\leqq b\) nebst ihren Ableitungen jeder Ordnung stetig sind (\(A\) und \(B\) ausserdem positiv). Ein Integral \(y\) von (1), welches so wie \(dy/dx\) für \(x=a\) einen von \(k^2\) unabhängigen Wert besitzt, ist eine ganze transcendente Function von \(k^2\). Es handelt sich nun um das Verhalten dieser Function bei \(k=\infty\). Zu dem Ende wird \(y\) in der Form \[ y = \cos kw\left(\varphi_0+\frac{\varphi_2}{k^2}+\cdots\right) + \sin kw\left(\frac{\varphi_1}k+\frac{\varphi_3}{k^3}+\cdots\right)\tag{2} \] entwickelt, welche der Differentialgleichung (1) formell genügt. Darin sind \(w\), \(\varphi_0\), \(\varphi_1\), ... Functionen von \(x\), deren Berechnung angegeben wird. Es wird nun gezeigt, dass die Reihe (2) das Integral \(y\) für grosse Werte des Parameters \(k\) asymptotisch darstellt, und zwar in der Voraussetzung, dass \(k\) mit \(0\leqq\arg k\leqq\pi\) ins Unendliche geht. Es wird dann nach den Lösungen von (1) gefragt, welche die Bedingungen \(\frac{dy}{dx}-hy=0\) für \(x=a\), \(\frac{dy}{dx}-Hy=0\) für \(x=b\) erfüllen, worin \(h\) und \(H\) positive Grössen sind. Die Werte von \(k^2\), für welche (1) derartige ``ausgezeichnete'' Lösungen besitzt, sind die Wurzeln einer Gleichung \(F(k^2)=0\), wo \(F(k^2)\) eine ganze transcendente Function ist, für die aus (2) sich unmittelbar der asymptotische Ausdruck ergiebt. Die Lösung dieser Gleichung, die unendlich viele reelle positive Wurzeln \(k^2\) (ausgezeichnete Werte) besitzt, wird für grosse ausgezeichnete Werte asymptotisch gegeben und daran die asymptotische Darstellung der ausgezeichneten Lösungen von (1) mit grossem Index angeschlossen. Im zweiten Aufsatz wird die vorhergehende Untersuchung auf eine allgemeinere Klasse von linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung ausgedehnt. Hier sind die Integrale ganze transcendente Functionen von \(k\) oder lassen sich in der Umgebung von \(k=\infty\) nach positiven und negativen Potenzen von \(k\) entwickeln. Das Verhalten der Integrale bei \(k=\infty\) wird mittels asymptotischer Darstellungen untersucht, in denen Producte aus Exponentialausdrücken und Potenzreihen von \(1/k\) auftreten. Daran werden einige Beispiele geknüpft, wie die Bessel'sche Function \(J_n(x)\) als Function von \(n\) und die Gauss'sche Reihe als Function eines der drei ersten Elemente \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\).