Sur deux équations intégrables du second ordre. (Q1514404)

(Siehe auch JFM 30.0325.02) Es werden alle Gleichungen der Form \(s=f(x,y,z,p,q)\) gesucht, welche die Eigenschaft haben, dass für jedes Charakteristikensystem eine andere integrable Combination als \(dx=0\) und \(dy=0\) existirt, in der keine Ableitung von höherer Ordnung als der zweiten vorkommt, und von denen eine wenigstens eine Ableitung zweiter Ordnung enthält. Als Lösung des Problems werden 11 verschiedene Typen angegeben. Von 4 derselben ist das allgemeine Integral in expliciter Form völlig bekannt; zwei andere sind durch die Methode von Monge integrabel, und es bleiben somit nur 5 neue Formen, deren Integration weiter studirt wird. Zunächst wird gezeigt, dass die Gleichung \(s(x+y)=\varphi(p)\psi(q)\), wo \(\varphi(p)=1+e^{p- \varphi(p)}\) und \(\psi(q)=1+e^{q-\psi(q)}\) ist, auf eine integrable Form gebracht werden kann, und dann, dass die Form \(s=e^z\sqrt{xp^2+p}\) auf eine Gleichung gebracht werden kann, die ein Zwischenintegral erster Ordnung zulässt. Das allgemeine Integral der Gleichung \[ sz = \sqrt{1+p^2}\sqrt{1+q^2} \] wird durch die Formel \[ z^2 = \left(\int Xdx - \int\frac{dy}Y\right) \left(\int Ydy - \int\frac{dx}X\right) \] gegeben, wo \(X\) eine willkürliche Function von \(x\) und \(Y\) eine ebensolche von \(y\) ist. Auch die Form \(xz+\varphi(x,p)\psi(y,q)=0\), wo \(\varphi\) und \(\psi\) den Gleichungen genügen \[ \frac{\partial\varphi}{\partial p} = \frac p{\varphi} + K,\, \frac{\partial\psi}{\partial q} = \frac q{\psi} + K \] und \(K\) eine von Null verschiedene Constante bedeutet, kann in ähnlicher Weise integrirt werden. Das allgemeine Integral von \[ s\sin z = \sqrt{1+p^2}\sqrt{1+q^2} \] wird durch die Gleichung bestimmt: \[ \cos z = \frac{2\left(\frac{u_1}{u_2}\cdot\frac{u_1'}{u_2'} + \frac{v_1}{v_2}\cdot\frac{v_1'}{v_2'}\right) + \left(\frac{u_1}{u_2}+\frac{u_1'}{u_2'}\right) \left(\frac{v_1}{v_2}+\frac{v_1'}{v_2'}\right)}{ \left(\frac{u_1}{u_2}- \frac{u_1'}{u_2'}\right) \left(\frac{v_1}{v_2}-\frac{v_1'}{v_2'}\right)} \] wo \(u_1\) und \(u_2\) Lösungen der Gleichung: \[ \frac{d^2u}{dx^2} - X\frac{du}{dx} - \frac u4 = 0 \] sind, in der \(X\) eine willkürliche Function von \(x\) bedeutet, und \(v_1\) und \(v_2\) Lösungen der entsprechenden Gleichung in \(y\).