Sull'integrazione dell'equazione differenziale \(\varDelta^{2n}=0\). (Q1514419)

Bezeichnet \(\Delta^2f\) die Operation \(\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}+\cdots\) und \(\Delta^{2n}f\) die Function, die man durch \(n\)-malige Anwendung des Symbols \(\Delta^2\) auf \(f\) erhält, so wird gezeigt, dass eine in einem gewissen Bereiche reguläre Function, die der Gleichung \(\Delta^{2n}=0\) genügt, im allgemeinen durch \(n\) im nämlichen Bereiche reguläre Functionen dargestellt werden kann, die der Gleichung \(\Delta^2=0\) genügen. Der Beweis dieses Theorems wird für drei Variabeln durchgeführt; doch gilt dasselbe für beliebig viele Variabeln. Es wird benutzt zur Integration der in der Theorie der Elasticität eine hervorragende Rolle spielenden Differentialgleichung \(\Delta^4=0\); ferner zur Lösung der Aufgabe, eine reguläre Function \(\psi\) zu ermitteln, die in einem Kreise vom Radius \(r\) der Gleichung \(\Delta^{2n}=0\) genügt, wenn die Werte der Function selbst und ihrer \(n-1\) ersten Ableitungen nach der inneren Normale am Umfange gegeben sind. Dasselbe Problem wird noch für zwei concentrische Kreise behandelt.