Zur Geometrie infinitesimaler Transformationen. (Q1514423)

Der Zweck der Abhandlung ist die Untersuchung der Beziehungen zwischen infinitesimalen Transformationen und solchen Differential ausdrücken; denen die Eigenschaft der Invarianz gegenüber diesen Transformationen nicht zukommt. Es seien \[ x_1 = \varphi(x,y,t),\quad y_1 = \psi(x,y,t)\tag{1} \] die Gleichungen der stationären Bewegung einer Flüssigkeit in der Ebene, \[ Uf = \xi(x,y)\frac{\partial f}{\partial x} + \eta(x,y)\frac{\partial f}{\partial y} \] die der infinitesimalen Transformation, und \(H=H(x,y,y')\) eine Function, deren Verhalten gegenüber dieser Transformation untersucht werden soll. Wird durch dieselbe \(H\) in \(H_1=H(x,y,y')+K(x,y,y',t)\) übergeführt, wo \(K\) eine bestimmte, für \(t=0\) verschwindende Function dieser Argumente ist, und ist für eine Curvenschar \(F(x,y,C)=0\), \(K(x,y,y',t)=\Omega(x,y,t)\), dann ist \(H_1-H=\Omega(x,y,t)\). Es wird der Satz aufgestellt: Wenn die Differentialgleichung \(K(x,y,y',t)=\Omega(x,y,t)\) den Parameter \(t\) nicht enthält, oder wenn sie in zwei Differentialgleichungen zerfällt, deren eine \(t\) nicht enthält und gegenüber der Gruppe (1) invariant ist, dann besitzt die invariante, durch diese Differentialgleichung definirte Curvenschar \(F(x,y,C)=0\) die Eigenschaft, dass für zwei correspondirende Punkte jedes Curvenpaars die Relation \(H_1-H=\Omega(x,y,t)\) stattfindet; und umgekehrt. Auf diesen Satz gründet sich die weitere Untersuchung. Der specielle Fall \(H=\frac{\xi\eta'-\eta}{\xi+\eta\eta'}\), wo also \(H\) die Tangente des Winkels zwischen einer beliebigen Curve und einer Curve der Gruppe (1), wird erledigt.