Sur les groupes continus. (Q1514425)

Sind \(X_1f\), ..., \(X_nf\) unabhängige infinitesimale Transformationen im Sinne von Lie, so nennt Verf. jeden Ausdruck von der Form: \[ \sum c_{\alpha,\beta,\dots,\lambda,\mu,\dots}X_\alpha^\lambda X_\beta^\mu\dots f, \] wo die Potenz \(\lambda\) die \(\lambda\)-malige Wiederholung der Operation \(X^af\) bedeutet: ein symbolisches Polynom in \(X_1f\), ..., \(X_af\) und nennt das Polynom insbesondere normal, wenn alle Glieder, die sich nur durch die Ordnung der Factoren unterscheiden, gleiche Coefficienten haben. Die normalen Polynome sind die einzigen, die sich als Summen von Potenzen linearer Polynome darstellen lassen. Sollen zwischen den infinitesimalen Transformationen Relationen von der Form: \[ (XY) = XYf - YXf = \sum_s^{1\dots n}c_{iks}X_sf\tag{1} \] bestehen, so müssen für die Constanten \(c_{iks}\) die bekannten aus der Jacobi'schen Identität folgenden Lie'schen Relationen bestehen. Verf. behauptet nun, dass man durch Benutzung der Relationen (1) jedes symbolische Polynom auf eine und nur eine Art in ein normales überführen kann, und gründet darauf ein Verfahren zur Bestimmung der infinitesimalen Transformationen der kanonischen Parametergruppe, die zu der Zusammensetzung \(c_{iks}\), gehört, womit zugleich gezeigt ist, dass jedes System \(c_{iks}\) von jener Beschaffenheit die Zusammensetzung einer \(n\)-gliedrigen Gruppe darstellt. Er benutzt dabei den symbolischen Ausdruck: \[ e^{t_1X_1+\cdots+t_nX_n} \] für die von der infinitesimalen Transformation \(\sum t_k X_kf\) erzeugte eingliedrige Gruppe; im übrigen beruht aber das Verfahren auf einem Gedanken, den Lie schon 1878 zu demselben Zwecke benutzt hat (s. Trfsgr. Bd. III, Kap. 27); das Neue in der vorliegenden Arbeit ist daher eigentlich nur die Einführung der symbolischen Polynome und ihre Reduction auf Normalformen.