Die primitiven Transformationsgruppen in fünf Veränderlichen. (Q1514426)

Im 1. Abschnitte (S. 70-113) bestimmt Verf. alle projectiven Gruppen des \(R_4\), die keine ebene Mannigfaltigkeit invariant lassen. Die primitiven kann er leicht angeben, da durch eine Arbeit von Page (F. d. M. 20, 373, 1888, JFM 20.0373.01) alle primitiven Gruppen des \(R_4\) bekannt sind und nur noch nachzuweisen ist, dass von den projectiven Gruppen, die darunter enthalten sind, keine durch nichtprojective Transformation eine andere projective Form erhalten kann. Schwieriger ist die Ermittelung der imprimitiven projectiven Gruppen des \(R_4\) von der verlangten Art. Nur wenn die Gruppe eine nicht ausgeartete Mannigfaltigkeit zweiter Ordnung invariant lässt, kann man leicht erkennen, dass sie mit der projectiven Gruppe einer rationalen möglichst gekrümmten Curve vierter Ordnung identisch ist. Um die übrigen Gruppen zu finden, die selbstverständlich nicht integrabel sein dürfen und. also jedesmal eine dreigliedrige einfache Gruppe enthalten, bestimmt Verf. alle dreigliedrigen einfachen projectiven Gruppen des \(R_4\), wobei er sich auf den in dieser Allgemeinheit neuen Hülfssatz stützt, dass jedesmal, wenn zwei infinitesimale lineare homogene Transformationen \(Xf\) und \(Yf\) in der Beziehung: \[ (XY) = wXf\quad(w\neq0) \] stehen, die charakteristische Gleichung von \(Xf\) lauter verschwindende Wurzeln hat. Er bestimmt nämlich in 5 Veränderlichen alle Typen von infinitesimalen linearen homogenen Transformationen, deren charakteristische Gleichung lauter verschwindende Wurzeln hat, und kann dann die dreigliedrigen einfachen projectiven Gruppen des \(R_4\) durch leichte Rechnungen ermitteln. Jetzt bestimmt er alle bei diesen Gruppen invarianten Punktmannigfaltigkeiten und untersucht, ob eine von diesen etwa eine mehr als dreigliedrige projective Gruppe gestattet, bei der nichts Ebenes invariant bleibt. Das Ergebnis ist, dass die einzige imprimitive projective Gruppe der verlangten Art die Gruppe der Curve vierter Ordnung ist; denn es lässt sich zeigen, dass jede imprimitive projective Gruppe des \(R_4\) eine Punktmannigfaltigkeit invariant lässt. Der zweite Abschnitt (S. 113-144) leistet die Bestimmung der primitiven Gruppen des \(R_5\). Lässt die Gruppe kein System von Pfaff'schen Gleichungen invariant, so kommt man ausser den von Lie angegebenen nur noch auf drei primitive Gruppen, die projectiv sind; zwei davon lassen eine im Unendlichen liegende rationale Curve vierter Ordnung invariant; die dritte giebt an, wie die \(\infty^5\) Kegelschnitte bei der projectiven Gruppe der Ebene transformirt werden. Bleibt ein System von Pfaff'schen Gleichungen invariant, so giebt es, wie Verf. zeigt, entweder nur ein invariantes, das eingliedrig ist oder es giebt deren zwei, die zwei- und dreigliedrig sind. Im ersten Falle hat man eine Gruppe von Berührungstransformationen des \(R_3\) und erhält ausser einer von Lie angegebenen Gruppe nur noch eine vierzehngliedrige, die ebenfalls schon bekannt war. Den andern Fall erledigt Verf. sehr geschickt durch Uebertragung der Lie'schen Rechnung mit charakteristischen Functionen auf Systeme von Pfaff'schen Gleichungen und erhält nur eine schon bekannte vierzehngliedrige Gruppe. Ausser den von vorn herein bekannten primitiven Gruppen des \(R_5\) giebt es also keine weiter. Auch die Frage nach allen unendlichen primitiven Gruppen des \(R_5\) ist hiermit erledigt. Endlich erwähnt Verf. noch, dass nunmehr das in seiner Dissertation (F. d. M. 29, 552, 1898, JFM 29.0552.04) behandelte Problem auch für den \(R_5\) vollständig erledigt ist: zu den damals angegebenen Gruppen kommt keine neue hinzu.