Synthetische Bestimmung aller Berührungstransformationen der Kreise in der Ebene. (Q1514428)

Es handelt sich hier um eine directe und möglichst elementare Bestimmung aller endlichen Transformationen, die in der von Lie entdeckten zehngliedrigen Gruppe von Berührungstransformationen aller Kreise der Ebene enthalten sind. Als bekannt werden vorausgesetzt die der Gruppe angehörigen Punkttransformationen, die aus den euklidischen Bewegungen, den Aehnlichkeitstransformationen, den Umlegungen und den Transformationen durch reciproke Radien zusammensetzbar sind, ferner eine leicht angebbare Berührungstransformation, die Dilatation, die jeden Kreis in einen concentrischen überführt, bei der aber, um sie eindeutig zu machen, orientirte Kreise und orientirte Linienelemente benutzt werden. Mit Hülfe der bekannten Transformationen lässt sich jede noch fehlende Berührungstransformation der Gruppe durch eine solche ersetzen, die nicht bloss Kreise in Kreise, sondern auch Gerade in Gerade überführt, und zwar überdies gleichsinnig parallele Gerade in ebensolche. Endlich giebt es auf jeder Geraden einen Punkt, der wieder in einen Punkt übergeht, und die Gesamtheit dieser Punkte, die natürlich nicht die ganze Ebene erfüllen darf, weil man sonst eine Punkttransformation hätte, bildet eine und nur eine Gerade. Liegt diese Gerade im Unendlichen, so hat man eine Punkttransformation; liegt sie im Endlichen, so kann die betreffende Transformation mit Hülfe einer Aehnlichkeitstransformation durch eine andere ersetzt werden, die durch die invariante Gerade und einen gewissen Winkel \(w\) vollständig bestimmt ist: sie lässt jeden Punkt jener Geraden invariant und führt jeden Punkt in einen concentrischen Kreis über, dessen Halbmesser \(\sigma\sin w\) ist, wo \(\sigma\) den Abstand des Punktes von der invarianten Geraden bedeutet.