On the formulas which allow to represent the variation of a definite multiple integral in a form suitable for applications. (Q1514438)

Wie Clebsch gezeigt hat, kann die Untersuchung des absoluten Maximums oder Minimums eines mehrfachen bestimmten Integrales, bei welchem die unter dem Integralzeichen stehende Function die Integrationsvariabeln, die unbekannten Functionen dieser letzteren und ihre partiellen Ableitungen verschiedener Ordnung enthält, stets zurückgeführt werden auf die Untersuchung des relativen Maximums oder Minimums eines mehrfachen bestimmten Integrales, bei welchem die zu integrirende Function die Integrationsvariabeln, die unbekannten Functionen derselben und ihre partiellen Ableitungen erster Ordnung enthält. Andererseits kann die Aufsuchung eines relativen Maximums oder Minimums in der Art auf diejenige eines absoluten Maximums oder Minimums zurückgeführt werden, dass die Ordnung der partiellen Derivirten der unbekannten Functionen dieselbe bleibt. Die vorliegende Abhandlung verfolgt nun hauptsächlich den Zweck, zwei Formeln abzuleiten, welche dazu dienen, die erste Variation \(\delta u\) des bestimmten mehrfachen Integrales \[ u = \int_{(i)}vdx_1dx_2\dots dx_i \] in einer zur Bestimmung des Maximums oder Minimums des Integrales \(u\) geeigneten Form darzustellen. \(v\) ist hierbei Function der unabhängigen Veränderlichen \(x_1\), \(x_2\), ..., \(x_i\), der unbekannten Functionen \(y_1\), \(y_2\), ..., \(y_s\) derselben Veränderlichen und ihrer partiellen Derivirten erster Ordnung. Discussion der Verwendbarkeit dieser Formeln. Die zweite Variation ist nicht in den Kreis der Untersuchung einbezogen.