On certain mixed difference equations. (Q1514460)

Es handelt sich um die Auflösung der Functionalgleichung \[ \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h} = pf'(x),\tag{1} \] in der \(h\) und \(p\) zwei reelle gegebene Constanten sind. Zunächst erhält man eine unendliche Anzahl von Lösungen, indem man \(f(x)=Ae^{\frac{sx}h}\) setzt und für \(s\) die Wurzeln der transcendenten Gleichung \(e^s-e^{-s}=2ps\) nimmt. Die allgemeine Lösung nun muss so beschaffen sein, dass \(f(x)\) in einem Intervalle \(a-h,\,a+h\) willkürlich gegebene Werte annimmt. Um eine solche zu bilden, bedient sich Verf. der von Picard gegebenen Formel: \[ F(x) = -\sum\frac{\psi(\lambda)}{\pi'(\lambda)} e^{-\lambda x}\int_{x_0}^{x_1}e^{-\lambda\mu}F(\mu)d\mu, \] in der die Summation auf alle Wurzeln der Gleichung \(\pi(\lambda)=0\) sich erstreckt. Sie ist gültig für das Intervall \((x_0,x_1)\) unter gewissen für die Functionen \(\psi\) und \(\pi\) vorgeschriebenen Bedingungen. Die Lösung der Gleichung (1) ,ergiebt sich, indem \(\psi(z)=-e^{-z}\), \(\pi(z)=e^z-e^{-z}-2pz\) gewählt wird, in der Gestalt: \[ f(x) = \frac1h\sum\frac{e^{\lambda\left(\frac xh- 1\right)}}{e^\lambda+e^{-\lambda}-2p}\int_{a-h}^a e^{- \lambda\frac{\mu}h}f(\mu)d\mu, \] wo die Summe sich über alle Wurzeln der Gleichung \(e^\lambda-e^{- \lambda}=2p\lambda\) erstreckt; die Grenze \(\alpha\) ist gleich \(a\) oder \(a+h\), je nachdem \(x\) zwischen \(a-h\) und \(a\) oder zwischen \(a\) und \(a+h\) enthalten ist. Es folgt eine Andeutung über die Lösung des erweiterten Problems, eine in den Grössen \(y_0\), \(y_1\), ..., \(y_{n-1}\); \(y_0'\), \(y_1'\), ..., \(y_{n-1}'\); \(y_0^{(p)}\), \(y_1^{(p)}\), ..., \(y_{n-1}^{(p)}\) lineare und homogene Gleichung, die \(x\) explicite nicht enthält, zu integriren, wo \(y_0\), \(y_1\), ..., \(y_{n-1}\) die Werte einer Function \(y\) beziehentlich für \(x=x_0\), \(x_0+h_1\), ..., \(x_0+h_{n-1}\) bezeichnen.