On a new and important theorem in the theory of functions. (Q1514485)

Ist \(f(z)\) eine meromorphe Function in einem den Nullpunkt, wo sie weder 0 noch \(\infty\) wird, enthaltenden Teile der Ebene, und sind \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), ..., \(\alpha_n\) sämtliche Nullstellen, \(\beta_1\), \(\beta_2\), ..., \(\beta_n\) sämtliche Pole der Function im Innern oder auf der Peripherie eines Kreises \(|z|=r\), der ganz in dem gegebenen Gebiete liegt, so gilt die Formel: \[ \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}l|f(re^{\Theta i})|d\theta = l|f(0)| + l\frac{r^{n-m}|\beta_1|\cdot|\beta_2|\cdots|\beta_m|} {|\alpha_1|\cdot|\alpha_2|\cdots|\alpha_m|}. \] Verf. erläutert die Wichtigkeit dieser Formel durch mehrfache Anwendungen, insbesondere durch den Hinweis auf die nunmehrige Möglichkeit des mit dem Problem der Anzahl der unter einer gegebenen Grenze liegenden Primzahlen eng zusammenhängenden Beweises, dass die Nullstellen der ganzen transcendenten Riemann'schen Function \(\xi(t)\) sämtlich reell sind.