Ueber transcendente Functionen, deren sämtliche Wurzeln transcendente Zahlen sind. (Q1514544)

``Bekanntlich hat Liouville zuerst die Existenz von Zahlen nachgewiesen, die nicht Wurzeln einer algebraischen Gleichung mit rationalen Coefficienten sein können, und G. Cantor sodann dargethan, dass sich in jedem noch so kleinen Intervalle derartige Zahlen befinden. Diesem Resultate wurde lange Zeit nicht die verdiente Beachtung zu Teil, wohl deshalb, weil man es nur als ein bemerkenswertes Curiosum ansah, das für keine derjenigen Zahlen nachgewiesen war, welche in der Analysis oder deren Anwendungen eine grössere oder geringere Rolle spielen. Erst als Hermite und Lindemann gezeigt hatten, dass die Zahlen \(e\) und \(\pi\) diese Eigenschaft besitzen, also transcendente Zahlen sind --- was seither wiederholt auf immer einfacheren Wegen von Weierstrass, Gordan, Hilbert, Hurwitz, Mertens u. a. bewiesen wurde ---, begann man schon den angehenden Mathematiker mit der Existenz nichtalgebraischer Zahlen bekannt zu machen. Es dürfte daher nicht uninteressant sein, zu erfahren, dass sich transcendente Functionen, von denen manche vielleicht künftighin in der Physik Verwendung finden werden, in beliebiger Zahl aufstellen lassen, die, wie die Functionen \(\frac{\sin x}x\), \(\cos x\), \(\frac{\tan x}x\) u. s. f., keine algebraischen Wurzeln besitzen. Dies zu zeigen, ist der Zweck der vorliegenden Mitteilung.''