The theory of the Gamma Function. (Q1514561)

Die Gammafunction nimmt in der Analysis in vielfacher Hinsicht eine wichtige Stelle ein: Sie ,ist die einfachste Function, welche einer Transformationsrelation genügt; sie tritt in die Analysis historisch als ein bestimmtes Integral ein, welches in zahlreichen Untersuchungen vorkommt; sie genügt der einfachsten Differenzengleichung mit nicht- constanten Coefficienten; sie ist in merkwürdiger Art mit den Bernoulli'schen Functionen verknüpft; und endlich ist sie die einfachste bekannte Function welche keiner Differentialgleichung mit algebraischen oder periodischen Coefficienten genügt. Verf. unternimmt in der vorliegenden Arbeit den Versuch, in elementarer Weise eine vollständige Theorie der Gammafunction zu entwickeln. Im ersten Teile definirt er die logarithmische Ableitung der Function als unendliche Reihe und leitet ihre elementaren Eigenschaften in der Weise ab, wie Weierstrass die Theorie von \(\wp u\) entwickelt hat. Im zweiten Teile wird ein kurzer Abriss der Bernoulli'schen Function gegeben, soweit er für die folgende Theorie nötig ist. Im dritten Teile werden die mit der Gammafunction in Verbindung stehenden Randintegrale behandelt. Die erstere wird als ein Randintegral dargestellt und mittels einer naturgemässen Erweiterung der Riemann'schen \(\zeta\)-Function werden die Gamma- und die Bernoulli'schen Functionen als besondere Fälle eines und desselben Integrals aufgedeckt; ferner werden gewisse, für den folgenden Teil notwendige, asymptotische Formeln ohne Benutzung der Mac Laurin'schen Summenformel aufgestellt. Im vierten Teile wird die vollständige asymptotische Entwickelung der Gammafunction im Unendlichen für reelle wie für complexe Werte der Veränderlichen abgeleitet; und endlich im fünften Teile wird gezeigt, dass die Gammafunction nicht die Lösung einer Differentialgleichung sein kann, deren Coefficienten nicht Functionen von derselben Natur sind.