Ueber bilineare Relationen zwischen hypergeometrischen Integralen höherer Ordnung. (Q1514571)

Der functionentheoretische Gesichtspunkt, auf dessen Bedeutung im Gebiete der linearen Differentialgleichungen F. Klein (Math. Ann. 38, 144-152; F. d. M. 23, 337, 1891, JFM 23.0337.01) aufmerksam gemacht hatte, und der auch in der Dissertation des Verf. (Königsberg 1892; F. d. M. 24, 289-191, JFM 24.0289.01) durchgeführt wurde, wird in der vorliegenden Arbeit zunächst benutzt, um von neuem die Differentialgleichung herzuleiten, welcher die hypergeometrischen Integrale höherer Ordnung genügen. Die invarianten- theoretische Auffassung zeigt, dass diese Gleichung von sehr einfacher Structur ist; zugleich ergeben sieh die hypergeometrischen Integrale als transcendente Covarianten von zwei rationalen Formen. Mit Benutzung eines Satzes der erwähnten Dissertation des Verf. wird ferner die adjungirte Differentialgleichung aufgestellt, und aus ihrer Structur wird unmittelbar erschlossen, dass sie ebenfalls durch hypergeometrische Integrale befriedigt wird. In der passend zerschnittenen complexen Ebene stellen sich die Integranden der Lösungen beider Differentialgleichungen als Functionen mit Multiplicatoren (A. Hurwitz: Zur Theorie der Abel'schen Functionen, Gött. Nachr. 1892; F. d. M. 24, 385, JFM 24.0385.01) dar, und zwar sind die Multiplicatoren der einen Function zu den correspondirenden der anderen reciprok. Die bilinearen Relationen zwischen den hypergeometrischen Integralen höherer Ordnung, um deren Herstellung es dem Verf. in der vorliegenden Arbeit zu thun ist, werden aus der Beziehung gewonnen, welche zwischen den Lösungen zweier adjungirten Differentialgleichungen besteht. Diese Relationen umfassen als speciellen Fall die Beziehungen zwischen den hyperelliptischen Integralen erster Gattung. Verf. studirt nun noch gewisse Determinanten und leitet schliesslich ohne den Umweg über die Differentialgleichung die Beziehungen zwischen den hypergeometrischen Integralen mittels des Princips der Vertauschung von Parameter und Argument in einer zweiten Gestalt her, die der ersten algebraisch äquivalent ist. In dieser zweiten Gestalt sind die Relationen bereits in einer Arbeit von L. Fuchs (Berl. Ber. 1892; F. d. M. 24, 287- 288, JFM 24.0287.01) enthalten, wo sie aus einem sehr allgemeinen Satze fliessen. --- Es sei bemerkt, dass Verf. neuerdings seine Auffassung und Methode auch auf den umfassenderen Gegenstand übertragen hat.