Generalizzazione di alcuni teoremi intorno alle funzioni sferiche contenuti in una nota del prof. Paci. (Da una lettera al prof. Paci.) (Q1514601)

Der Satz von Paci (vergl. das vorhergehende Referat, JFM 30.0411.01) lässt sich dahin verallgemeinern, dass man an Stelle der Kugelfunction \(P_{2n}\) die Function \(C_\lambda^\nu(\cos x)\) nimmt, den Coefficienten von \(\alpha^\lambda\) in der Entwickelung von \((1-2\alpha\cos x+\alpha^2)^{-\nu}\) nach steigenden Potenzen von \(\alpha\); und zwar lautet die Verallgemeinerung: \[ \begin{multlined} \int_0^\pi\int_0^\pi C_n^\nu(\cos\varphi\cos\psi + \sin\varphi\sin\psi\cos\chi)\\ \times f(\cos\chi)\sin^{2\nu-1}\chi\sin^{2(\nu+\mu)}\varphi d\chi d\varphi = 0,\end{multlined} \] falls, \(f(x)\) eine ganze Function von \(x\) vom Grade \(2\tau\) und \[ n>2\mu\geqq2\tau \] ist. Der Beweis der vorstehenden Gleichung stützt sich auf Formeln, die der Verf. vor längerer Zeit (vergl. F. d. M. 6, 189, 1874, JFM 06.0189.03) abgeleitet hatte. Ferner wird auch der (von Null verschiedene) Wert angegeben, den das obige Integral annimmt, wenn die Function \(f\) die angegebenen Bedingungen nicht erfüllt.