Notiz über die Bessel'schen Functionen erster Art. (Q1514609)

Der Verf. bemerkt, dass verschiedene der interessanten Relationen, welche Hobson in Lond. M. S. Proc. 25 (vergl. F. d. M. 25, 837, 1893-1894, JFM 25.0837.02) betreffs der Bessel'schen Functionen aufgestellt hat, in der folgenden, für alle (reellen und complexen) \(\psi\) gültigen allgemeinen Gleichung enthalten sind: \[ \left\{ \begin{aligned} &\int_0^\pi e^{ai\cos\varphi\cos\psi}J^{\frac{2\nu- 1}2}(\alpha\sin\varphi\sin\psi) C_n^\nu(\cos\varphi)\sin^{\frac{2\nu+1}2}\varphi d\varphi\\ &= i^n\sqrt{\frac2{\alpha\pi}}\left[\frac{2^{2\nu}\prod\left(\frac{2\nu- 1}2\right)\prod(\nu)}{\prod(2\nu-1)}\right] \sin^{\frac{2\nu-1}2}\psi C_n^\nu(\cos\psi)J^{n+\nu}(\alpha).\end{aligned}\right.\tag{\text{I}} \] Darin bezeichnet \(J\) die Bessel'sche Function, \(C_n^\nu(\cos\varphi)\) den Coefficienten von \(\alpha^n\) in der Entwickelung des Ausdrucks \((1- 2\alpha\cos\varphi+\alpha^2)^{-\nu}\) nach steigenden Potenzen von \(\alpha\). --- Für die Gleichung (I), die schon in älteren Arbeiten des Verfs. (cf. F. d. M. 9, 377, 1877, JFM 09.0377.01; 14, 432, 1882, JFM 14.0432.01) erwähnt ist, wird hier ein Beweis gegeben, der sich darauf stützt, dass die Bessel'sche Function, abgesehen von constanten Factoren, die Coefficienten der Entwickelung von \(e^{axi}\) nach den Functionen \(C_n^\nu(x)\) sind, der ferner das Additionstheorem und die Integralsätze der Function \(C_n^\nu(x)\) benutzt. Aus (I) folgt noch folgende Entwickelung der Bessel'schen Functionen nach den Functionen \(C_n^\nu\): \[ e^{ai\cos\varphi\cos\psi} J^{\frac{2\nu-1}2}(\alpha\sin\varphi\sin\psi) = 2^{\nu-1}[\Pi(\nu-1)]^2(\sin\varphi\sin\psi)^{\frac{2\nu- 1}2}\sqrt{\frac2{\alpha\pi}} \] \[ \sum_{\lambda=0}^\infty i^\lambda\frac{(\lambda+\nu)\Pi(\lambda)}{\Pi(\lambda+2\nu-1)} J_{(a)}^{\nu+\lambda} C_\lambda^\nu(\cos\varphi) C_\lambda^\nu(\cos\psi). \] [Eine zusammenhängende Formel, vgl. Fußnote in JFM 33.0478.01]