Ueber Flächen dritter Ordnung, welche Collineationen in sich zulassen. (Q1514809)

Während eine Fläche dritter Ordnung ohne singuläre Punkte im allgemeinen keine Raumcollineation zulässt, durch welche sie in sich transformirt wird, giebt es specielle Flächen dritter Ordnung, welche eine endliche Anzahl von Collineationen in sich zulassen. Hier werden solche Flächen gesucht, und es wird die Gruppe der Collineationen bestimmt, welche sie zulassen. Es zeigt sich, dass es Flächen sind, bei denen sich drei Gerade in einem Punkte schneiden. Zu diesen Flächen gehört auch die Clebsch'sche Diagonalfläche (Clebsch: Math. Ann. 4, 336; F. d. M. 3, 31-32, 1871, JFM 03.0031.02), welche 120 Collineationen in sich zulässt (Klein: Math. Ann. 6, 567; vergl. F. d. M. 5, 320-321, 1873, JFM 05.0320.03), holoedrisch isomorph der erweiterten Gruppe des Ikosaeders. Besonders bervorgehoben wird die Fläche dritter Ordnung, welche eine ternär-gescharte Collineation sich zulässt. Verf. findet, dass dieselbe noch zwei weitere solcher Collineationen in sich besitzt, und dass die ganze Gruppe von Collineationen, welche die Fläche ungeändert lassen, aus 648 Operationen besteht, welche mit einer 27-fachen Meriedrie auf die erweiterte Gruppe des Tetraeders isomorph bezogen ist (Klein's Vorlesungen über das Ikosaeder). Die Fläche besitzt 18 Tripelpunkte, welche zu je zweien auf den 27 Geraden der Fläche liegen. Die Invarianten dieser Fläche haben numerische Werte (dritte Wurzeln aus \(-1\)), und jede solche Fläche daher in jede andere durch eine Collineation überführbar. Die zweite Abhandlung ist die Fortsetzung der ersten.