Sulla teoria delle trasformazioni delle superficie a curvatura costante. (Q1514968)

(Siehe auch JFM 30.0552.02, JFM 30.0552.03, JFM 30.0552.04, JFM 30.0552.05 und JFM 30.0552.06) Ist \(S_0\) eine biegsame und unausdehnbare Fläche, und gehen aus ihren Punkten \(M_0\) mit der Fläche starr verbundene Strahlen \(M_0M\), welche zu dem Orte \(S\) der Punkte \(M\) normal sein mögen, so fragt es sich, welche Beziehung zwischen den verschiedenen, aus der Deformation von \(S_0\) entstehenden Flächen \(S\) existirt. In dieser Beziehung hat Guichard (vergl. das vorangehende Referat, JFM 30.0552.01) die folgenden Sätze angegeben: Ist \(S_0\) ein Rotationsparaboloid, so ist \(S\), bei gehöriger Beschaffenheit der Strahlen \(M_0M\), eine Minimalfläche. Ist \(S_0\) ein Rotationsellipsoid oder ein zweischaliges Rotationshyperboloid, so ist \(S\) eine Fläche von constanter mittlerer Krümmung, und es giebt dann bekanntlich eine derselben parallele Fläche von constanter positiver (totaler) Krümmung. Bianchi legt sich zuerst folgendes Problem vor: Sind die Hauptkrümmungsradien \(r_1\), \(r_2\) von \(S\) durch eine Relation: \[ f(r_1,r_2) = 0\tag{1} \] verbunden, wann wird diese Relation für die allen möglichen Deformationen von \(S_0\) entsprechenden Flächen bestehen? Die Behandlung dieses Problems für die Fälle, wo die Relation (1) die besondere Form \(r_1+r_2=0\) oder \(r_1r_2=\) const. annimmt, führt ihn auf den Beweis der Guichard'schen Sätze. Es ergiebt sich ferner dabei Folgendes: Ist \(S\) eine Minimalfläche, so ist \(S_0\) ein Rotationsparaboloid oder auch die Evolute eines Katenoids; ist \(S\) eine Fläche von constanter positiver Krümmung, so ist \(S_0\) ein Rotationsellipsoid oder -paraboloid; ist \(S\) eine pseudosphärische Fläche, so ist \(S_0\) entweder eine ``logarithmische Drehungsfläche'', oder ein ``verkürztes Katenoid'', oder endlich eine ``hyperbolisch-sinusoidale Drehungsfläche''. --- Ist nur eine von den erwähnten sechs Drehungsflächen \(S_0\) vorhanden, so hängen mit derselben zwei vollständig bestimmte Strahlencongruenzen zusammen, deren eine das Spiegelbild der anderen in Bezug auf \(S_0\) ist, und die bei jeder Deformation von \(S_0\) zu je einer Fläche (\(S\) oder \(\bar S\)) normal sind; wenn \(S_0\) ein Rotationsparaboloid ist, so sind \(S\) und \(\bar S\) Minimalflächen, in den übrigen fünf Fällen sind sie Flächen von gleicher constanter positiver Krümmung. Dies vorausgeschickt, giebt die Umkehrung der Guichard'schen Sätze zu folgendem Probleme Anlass: Kann man \(S_0\) bestimmen, wenn eine Minimalfläche oder eine Fläche von constanter Krümmung als \(S\)- Fläche vorgegeben ist? --- Man findet, dass zu jeder solchen \(S\)-Fläche \(\infty^3\) \(S_0\)-Flächen gehören. Ist dann \(\bar S\) das Spiegelbild von \(S\) in Bezug auf \(S_0\), so entsteht bei der Auflösung des vorgelegten Problems aus jeder Minimalfläche oder Fläche von constanter Krümmung \(S\) eine dreifach unendliche Schar von Flächen \(\bar S\) derselben Art; wir sind nämlich dadurch zu einer ``Transformationsmethode'' der Minimalflächen und der Flächen von constanter Krümmung gelangt. Die Untersuchung dieser Transformationsmethode für die Flächen von constanter Krümmung bildet den Hauptzweck der Arbeit aus den Annali. Die neuen Transformationen werden hier aus analytischem sowie aus geometrischem Gesichtspunkte ausführlich studirt, und es wird bewiesen, dass sie sich aus reellen oder imaginären complementaren und Bäcklund'schen Transformationen zusammensetzen lassen. --- Der entsprechenden Untersuchung für die Minimalflächen ist die Note in Rom. Acc. L. Rend. (5) \(8_2\), 151-165 (siehe JFM 30.0552.06) gewidmet. Die erste Mitteilung von Bianchi ist vom 19. Februar 1899. Einige Wochen später (am 27. März) hat Darboux eine Reihe von Mitteilungen (Sur la déformation des surfaces du second degré, C. R. 128, 760-766, 854-859, 1899; Sur les transformations des surfaces à courbure totale constante, daselbst, 953-958; Sur les surfaces à courbure constante positive, daselbst, 1018-1024) unternommen, die sich mit verwandten Untersuchungen beschäftigen, und über welche man die folgenden Referate vergleiche (siehe JFM 30.0554.05 und JFM 30.0555.04).