Sulla razionalità dei piani multipli \(\{x,y,\root n\of{F(x,y)}\}\). (Q1514984)

Es handelt sich um das Problem, für eine gegebene Primzahl \(n\) alle Typen der Polynome von \(x\), \(y\) zu finden, auf welche sich durch birationale Transformationen die allgemeinen Polynome \(F(x,y)\) zurückführen lassen, von solcher Beschaffenheit, dass \(x\), \(y\) und \(\root n\of{F(x,y)}\) durch rationale Functionen zweier Parameter darstellbar sind. Geometrisch ist das Problem äquivalent mit der Aufsuchung der Uebergangscurve, die in einer \(n\)-fachen Ebene anzunehmen ist, wenn dieselbe auf eine einfache Ebene abgebildet werden soll. Für \(n=2\) existiren hier die Untersuchungen über die (1,2)-deutigen Gleichungen von Clebsch und von Noether. Nun entsprechen bei einer \((1,n)\)-deutigen Transformation den Punkten der \(n\)-fachen Ebene die Punkte der einfachen Ebene, welche sich durch eine cyklische birationale (Cremona'sche) Transformation vom Index \(n\) ergeben. Damit ist die Lösung des Problems zurückgeführt auf die genaue Discussion der Gruppen birationaler Transformationen, deren Aufzählung bekanntlich durch Kantor und Wiman geleistet worden ist. Indem die Typen dieser Transformationen für verschiedene Indices: \(n\), 3 und 5, näher besprochen und insbesondere die Coincidenzcurve aufgestellt wird, ergiebt sich schliesslich das Resultat: Die Typen, auf die sich die Polynome \(F(x,y)\) von der Beschaffenheit, dass \(x\), \(y\), \(\root n\of{F(x,y)}\) rationale Functionen zweier Parameter werden, zurückführen lassen, sind: für irgend eine ungerade Primzahl \(n\): a) \(F(x,y)=(x-a)(y-b)f_{\mu n}(x,y)\), wo \(f_{\mu n}\) eine Form vom Grade \(\mu n\) in \(x\), \(y\) ist und \(\mu\geq0\); für \(n=3\) auch b) \(F(x,y=f_3(x,y)\), wo \(f_3(x,y)\) eine Function dritten Grades in \(x\), \(y\) ist; c) ausserdem \(F(x,y)=x^2y^2+xy\varphi_3(x,y)+\varphi_6(x,y)\), wo \(\varphi_3(x,y)\) und \(\varphi_6(x,y)\) Formen vom resp. dritten und sechsten Grade sind; für \(n=5\) noch d) \(F(x,y)=y^3+\varphi_2(x,y)+\varphi_1(x,y)+c\), wo \(\varphi_2(x,y)\) und \(\varphi_3(x,y)\) Formen vom zweiten, resp. ersten Grade sind und \(c\) eine willkürliche Constante ist. An die Aufstellung dieses Resultats aus der Betrachtung der Transformationen schliesst sich im zweiten Teil die Untersuchung der notwendigen Bedingungen dafür, dass eine solche Curve auch vollständige Uebergangscurve einer \(n\)-fachen Ebene ist.