Die Verallgemeinerung des Pythagoreischen Lehrsatzes auf den \(n\)-dimensionalen Raum. (Q1515045)

Gehen in unserem dreidimensionalen Raume von einem Punkte \(O\) drei zu einander senkrechte Strecken \(OA_1\), \(OA_2\), \(OA_3\) aus, so ist bekanntlich: \[ (A_1A_2A_3)^2 = (OA_1A_2)^2 + (OA_1A_3)^2 + (OA_2A_3)^2,\tag{1} \] \[ (A_1A_2)^2 + (A_1A_3)^2 + (A_2A_3)^2 = 2[(OA_1)^2 + (OA_2)^2 + (OA_3)^2],\tag{2} \] wo die zwei Buchstaben enthaltenden Klammern Strecken, die drei Buchstaben enthaltenden Klammern Flächeninhalte bedeuten. Beide Relationen lassen sich bis auf \(n\) Dimensionen verallgemeinern, so dass ganz allgemein gilt: \[ \sum(A_1A_2A_3\dots A_{n-p})^2 = (p+1). \sum(OA_1A_2A_3\dots A_{n-p-1})^2. \] Hier bezieht sich das Summenzeichen links auf alle möglichen \(n_{n-p}\) Zusammenstellungen von je \(n-p\) der \(n\) Buchstaben \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\), ..., \(A_n\), das Summenzeichen rechts auf alle möglichen \(n_{n-p-1}\) Zusammenstellungen des Buchstabens \(O\) mit je \(n-p-1\) der \(n\) Buchstaben \(A_1\), \(A_2\), ..., \(A_n\). Jedes Glied der beiden Summen enthält ein \((n-p-1)\)-dimensionales Volumen.