Le congruenze. (Q1515059)

Die Strahlencongruenzen werden in der üblichen Weise bestimmt durch die Schnittpunkte \((x, y, z)\) der Strahlen mit einer Fläche \(S\) und die Richtungscosinus \(X\), \(Y\), \(Z\) der Strahlen, wo die \(x\), \(y\), \(z\), \(X\), \(Y\), \(Z\) als endliche und stetige analytische Functionen angenommen sind. Für die in diesen Grössen und ihren partiellen Differentialquotienten ausgedrückten Fundamentalfunctionen, wie sie die folgenden Gleichungen zusammenfassen: \[ \begin{aligned} d\sigma^2 = &\sum dX^2 = Edu^2 + 2Fdudv + Gdv^2,\\ &\sum dXdx = edu^2 + (f+f')dudv + gdv^2,\\ ds^2 = &\sum dx^2 = Edu^2 + 2Fdudv + Gdv^2,\end{aligned} \] ferner \[ \sum X\frac{\partial x}{\partial u} = A,\quad\sum X\frac{\partial x}{\partial v} = B, \] werden dann die Gauss'schen, bezw. Cesaro'schen Gleichungssysteme, welche den Gauss-Codazzi'schen Formeln der gewöhnlichen Flächentheorie entsprechen, zusammengestellt: sie enthalten die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, dass und ob eine Liniencongruenz mit gegebenen Fundamentalfunctionen existirt. Zu diesen kommt dann noch ein weiteres Gleichungssystem, entsprechend dem für Flächen von Weingarten aufgestellten. Ist eine Liniencongruenz ein Orthogonalsystem, so ist die Bedingung hiefür bekanntlich, dass \(X dx+Y dy+Z dz\) ein vollständiges Differential ist, oder dass \(f=f'\) ist. Dieser Bedingung lässt sich eine andere Form geben, die mechanisch in folgendem Satze sich ausspricht: Für die Bewegung eines Punktes auf einer Fläche \((x, y, z)\), unter dem Einfluss einer constanten Kraft \((X, Y, Z)\), besteht das Integral der lebendigen Kraft nur, wenn die Gesamtheit der Wirkungsrichtungen der Kräfte eine Normalencongruenz bildet. Oder, wenn man eine Bewegung auf einer Kugel annimmt, so folgt ein ähnlicher Satz. Von dem weiteren Inhalt der Abhandlung ist anzuführen der Beweis des Theorems: Zwei quadratische Differentialformen, deren eine definit ist, lassen sich durch reelle Transformation der Variabeln stets auf solche Formen bringen, dass die äusseren Coefficienten der beiden Formen proportional sind, und dass der mittlere Coefficient der definiten Form verschwindet.