Neue Aequivalenztheorie für die linearen Systeme rationaler, elliptischer und hyperelliptischer Curven in der Ebene. (Q1515088)

Verf. verfolgt das Ziel, für die ``unzulänglichen'' Theoreme von Noether, Bertini, Martinetti, Jung, Segre, Guccia in dem durch den Titel bezeichneten Gebiete auf neuer Grundlage neue Theoreme und Typen zu setzen. An jenen früheren Entwickelungen wird ausgesetzt, dass zur Auffindung der reducirenden Transformationen zweiter Ordnung \((T_2)\) die Auflösung allgemeiner Gleichungen \(n\)ten Grades nötig werden kann, wodurch die Transformationen und Typen nicht nur imaginär ausfallen können, sondern überhaupt die Transformationen ihren birationalen Charakter verlieren. Verf. zeigt, wie sich bei ihm die Aequivalenz von Curvensystemen (d. h. ihre Ueberführbarkeit durch birationale Transformationen der Ebene) auf rein rationalem Wege erreichen lässt. Ueberdies seien seine Entwickelungen unabhängig von der sonst zu Grunde gelegten bekannten Relation: \(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3>n\) (für die drei höchsten Fundamentalpunkte). Endlich seien seine Ergebnisse auch unmittelbar zahlentheoretisch verwendbar. Ein Rationalitätsbereich wird durch die Coefficienten von Curvengleichungen festgelegt. Sind von den Schnittpunkten \((A)\) zweier Curven \(C\), \(C'\) eine Anzahl \((A)_1\) rational gegeben, so heisst die Gruppe der übrigen Schnittpunkte \((A)_2\) eine rationale Gruppe zweiter Art. Die Entwickelungen beziehen sich auf rational gegebene Curvensysteme. Bei rationalen Curven liegt der Satz zu Grunde: ``Für jeden Büschel rationaler Curven giebt es solche Transversalcurven, die jede Curve \(C_n\) des Büschels in je zwei variabeln Punkten treffen.'' Beachtenswert ist beim Beweise die Benutzung der Invariantentheorie, die darüber hinaus zu interessanten Zusammenhängen zwischen Invariantentheorie und Zahlentheorie führt. Da die Dimension der Transversalcurve beliebig hoch gedacht werden kann, so folgt aus obigem Satze, dass jeder Büschel rationaler Curven der Ebene durch eine birationale Transformation \(T\) der Ebene in einen \(C_2\)- Büschel übergeführt werden kann. Steigt man nun zu höheren, \(\infty^\mu\) \((\mu>1)\)-Systemen rationaler Curven \(C_n\) auf, so lassen sich dieselben durch \(T\), deren Ordnung \(\leqq n\) ist, auf eines von vier einfachsten solchen Systemen reduciren. Analog werden auch die Systeme elliptischer und hyperelliptischer Curven auf bestimmte einfachste Typen reducirt, wo die erforderlichen Transformationen jeweils genau charakterisirt werden. So z. B. kann jeder Büschel elliptischer Curven, wenn alle Basispunkte als rational verwendet werden, durch eine \(T\) in einen \(C_3\)-Büschel verwandelt werden. Siehe auch das folgende Referat über die sich anschliessende Abhandlung des Verfassers (siehe JFM 30.0602.01).