Rationale Zerlegung der birationalen Transformationen in ihre Primfactoren. (Q1515089)

Verf. löst hier auf allgemeiner Grundlage, indem er sich auf die Entwickelungen der vorangehenden Arbeit (s. das obige Referat, JFM 30.0601.01) sowie früherer stützt, das Problem, jede rational gegebene birationale Transformation \(T_n\) \(n\)ter Ordnung der Ebene ohne neue Irrationalitäten auf gewisse einfachste \(T_n\) zurückzuführen, oder, wie er sagt, in Primfactoren zu zerlegen. Unter den Fundamentalpunkten einer \(T_n\) können sich von vorn herein nur rationale Gruppen befinden. Indem wir die jedesmalige Angabe der rationalen Gruppen bei Seite lassen, führen wir gleich das Hauptergebnis an. Bezeichnet \(P\nu\) einen \(\nu\)- fachen Fundamentalpunkt einer \(T_n\), so giebt es nur 16 verschiedene Arten von Primfactoren: 1), 2) Zwei Arten von \(T_n\) mit einem \(P_{n-1}\); 3), 4) zwei Arten von \(T_{2n+1}\) mit \(4P_n\) und \(nP_2\); 5) \(T_2\) mit \(3P_1\); 6) \(T_5\) mit \(6P_2\); 7), 8) zwei Arten von \(T_8\) mit \(7P_2\); 9), 10) zwei Arten von \(T_{13}\) mit \(2P_6\) und \(6P_4\); 11) \(T_{16}\) mit \(5P_6\), \(3P_5\); 12) \(T_{17}\) mit \(8P_6\); 13) \(T_{25}\) mit \(2P_{12}\), \(3P_8\), \(4P_6\); 14) \(T_{29}\) mit \(2P_{14}\), \(7P_8\); 15) \(T_{41}\) mit \(5P_{16}\), \(2P_{10}\); 16) \(T_{61}\) mit \(2P_{30}\), \(3P_{20}\), \(4P_{12}\). Diese einfachsten \(T_n\) sind bei der Zerlegung einer \(T_n\) nach Art, Aufeinanderfolge und gegenseitiger Lage der Fundamentalsysteme eindeutig bestimmt. Es werden zwei Beweise gegeben; eine dritte Beweismethode wird skizzirt. Bemerkenswert ist, dass Verf. in der Lage ist, seine Ergebnisse auch zahlentheoretisch zu formuliren: Jede in einem algebraischen Zahlkörper ganzzahlige \(T_n\) kann ohne neue algebraische Zahlen, also rational, in ganzzahlige \(T_n\) des obigen Theorems zerlegt werden. Auf ein näheres Eingehen muss Referent bei der eigenartigen Darstellung des Verf. verzichten.