Der Bodendruck von Sand in verticalen cylindrischen Gefässen. (Q1515153)

Bezüglich der Substanzen von der Beschaffenheit des Sandes sind sehr wenige Fälle des Gleichgewichts bekannt, welche sich sowohl auf dem Wege des Versuchs, als auch mit den Mitteln der Rechnung behandeln lassen. Deshalb ist auch die Zuverlässigkeit der Anschauung, welche wir seit Coulomb unseren Betrachtungen über das Gleichgewicht sandförmiger Massen zu Grunde legen, nicht sehr gross. Bei dieser Lage der Dinge hat jede Aufgabe, welcher wir sowohl mit dem Versuche als auch mit der Rechnung beizukommen vermögen, eine Bedeutung für die Theorie. Das im Titel genannte Problem ist eine solche Aufgabe. Experimentell ist sie sehr leicht zu behandeln. Gegen eine in senkrechter Richtung festgehaltene Röhre wird von unten ein Deckel gedrückt und in das so gebildete Gefäss Sand geschüttet. Durch den Versuch wird nun die Kraft \(P\) bestimmt, welche noch gerade ausreicht, um den Stempel gegen den Druck des Sandes im Gleichgewichte zu halten. In dieser Weise haben Hagen und Forchheimer einige Versuche über den Bodendruck des Sandes angestellt. Dabei ist ein Resultat deutlich hervorgetreten: mit wachsender Höhe nähert sich der Bodendruck ausserordentlich rasch einem gewissen endlichen Grenzwerte, über welchen hinaus eine weitere Steigerung nicht mehr stattfindet. Der Grund dieser Erscheinung ist leicht einzusehen. In den oberen Schichten ist der Druck und damit auch die an den Seitenwänden des Gefässes stattfindende Reibung sehr gering; der Druck wird also oben ungefähr in derselben Weise zunehmen wie bei einer reibungslosen Flüssigkeit. Weiter unten aber, wo der Druck eine gewisse Grösse erreicht hat, ist natürlich auch die Gegenwirkung der Reibung gegen die Vermehrung des Druckes durch das Eigengewicht des Sandes beträchtlicher; der Druck selbst nimmt also in einem schwächeren Grade zu als weiter oben. Hätte der Druck eine gewisse Grenze erreicht, so würde die Reibung gerade genügen, um der Wirkung der Schwere das Gegengewicht zu halten, und eine weitere Vermehrung des Druckes würde nicht stattfinden. Diesem Grenzwerte wird der Druck von oben nach unten zustreben, um sich ihm dann in den unteren Schichten asymptotisch zu nähern; die Druckverteilung über den ganzen Querschnitt wird sieh dabei natürlich einem Grenzzustande nähern, welcher gleichmässig ist in Bezug auf diese Längsrichtung der Röhre. Dieser Grenzzustand wird in der vorliegenden Abhandlung auf Grund der von Coulomb herrührenden Vorstellung erörtert, dass der Sand eine reibende Substanz ist, und dass aus diesem Grunde an keinem Flächenelement die Neigung des Druckes zur Normale grösser als der Reibungswinkel ist, welcher durch die steilste natürliche Böschung bestimmt wird. Zu einer völligen Bestimmung der Druckverteilung reicht diese Bedingung nicht aus; es giebt nicht eine, sondern unzählig viele Druckverteilungen, welche ihr genügen. Zu jeder solchen Druckverteilung gehört ein bestimmter Wert des Gesamtdruckes für einen Querschnitt und damit ein bestimmter Gegendruck gegen den verschliessenden Deckel. Das Minimum des Querschnittdruckes giebt offenbar den Gegendruck, welcher zur Aufrechterhaltung des Gleichgewichts noch gerade hinreicht. Es kommt also darauf an, diejenige Druckverteilung zu suchen, welche das Minimum des Bodendruckes liefert. In der Abhandlung wird die Aufgabe für die beiden einfachsten Formen des Querschnitts durchgeführt, nämlich für den von zwei parallelen Geraden begrenzten Spalt und für den Kreis.