Ueber die Aufstellung der Differentialgleichungen der Bewegung für reibungslose Punktsysteme, die Bedingungsungleichungen unterworfen sind. (Q1515171)

Wenn ein System von Massenpunkten dem Zwange von Bedingungsungleichungen unterliegt, wenn die Punkte z. B. durch unausdehnbare Fäden verbunden sind, deren Gewicht vernachlässigt werden kann, so wird die Aufgabe der Bestimmung der Bewegung von eigentümlicher Schwierigkeit, und Ostrogradsky, der sich in zwei Arbeiten der Petersburger Akademie von 1834 und 1838 mit diesem Problem beschäftigt hat, ist dabei in einen Fehler verfallen, auf den Study den Verf. 1889 brieflich aufmerksam gemacht hat. Die gegenwärtig entwickelte Lösung, deren Grundgedanke von Study herrührt, ergiebt sich am einfachsten und klarsten, wenn man von dem Gauss'schen Princip des kleinsten Zwanges ausgeht. Im ersten Paragraphen werden die Mittel zur Lösung erörtert, und es wird die Unmöglichkeit einer directen Lösung gezeigt. Ist nämlich \(f\leqq0\) eine der Bedingungsungleichungen und \(f''\) die zweite Ableitung von \(f\) nach \(t\), so spitzt sich die Untersuchung auf die ``Cardinalfrage'' zu: Wie lässt sich erkennen, welche von den zweiten Ableitungen \(f''\) in dem gegebenen Momente \(t\) bei der wirklichen Bewegung des Systems den Wert Null besitzen und welche nur \(<0\) sind? Die Entscheidung auf dem indirecten Wege wird durch die Ueberlegung herbeigeführt, wie sich die wahren Beschleunigungen der Systempunkte bestimmen würden, wenn wir die Cardinalfrage bereits gelöst hätten, und durch die Untersuchung, ob wir nicht irgend welche Kriterien finden können, an denen sich hinterher erkennen liesse, ob die gefundenen Werte der Beschleunigungen richtig oder falsch sind. Nachdem diese Fragen in \S\ 2 erledigt sind, wird in den beiden einfachsten Fällen von nur einer oder zwei Bedingungsungleichungen der Nachweis der Einzigkeit der Lösung (\S\ 3) erbracht. Dann kann aber auch die Bewegung des Systems während einer beliebigen endlichen Zeit bestimmt werden (\S\ 4).