Die Existenzbedingungen eines von den ersten und zweiten Differentialquotienten der Coordinaten abhängigen kinetischen Potentials. (Q1515180)

Der Zweck der Arbeit erhellt ans den folgenden Worten der Einleitung: ``Nachdem der von Helmholtz aufgestellte Satz über die Existenzbedingungen eines kinetischen Potentials in der Abhandlung von Koenigsberger über die Principien der Mechanik erstmals bewiesen worden war, hat A. Mayer in den Leipziger Berichten gezeigt, dass der Beweis des genannten Satzes mit Hülfe eines Princips aus der Variationsrechnung in besonders einfacher Weise durchgeführt werden könne, und hat zugleich die Vermutung ausgesprochen, dass die von ihm angewandte Methode auch die Lösung der von Koenigsberger aufgeworfenen Frage nach den Existenzbedingungen einer von den \(\nu\) ersten Ableitungen der Coordinaten abhängigen kinetischen Potentials ermöglichen werde. In der That verursacht eine solche Verallgemeinerung keine erheblichen Schwierigkeiten. Es kommt alles nur darauf an, das Problem so zu wenden, dass es sich auf die Behandlung eines Systems von linearen partiellen Differentialgleichungen zurückführen lässt. In welcher Weise man dieses erreichen könne, soll in der vorliegenden Arbeit zunächst für den Fall \(\nu=2\) gezeigt werden.'' --- Das Resultat der Untersuchung wird am Schlusse in der Gestalt eines Satzes ausgesprochen. Die Form der zur Existenz des allgemeinsten kinetischen Potentials notwendigen und hinreichenden Bedingungen lautet, wie zuletzt angegeben wird: Die Function \(H\) soll von den \(\nu\) ersten Differentialquotienten der Coordinaten abhängen und durch die Gleichungen: \[ -\left\{\frac{\partial H}{\partial p_i} - \frac d{dt}\left(\frac{\partial H}{\partial p_i'}\right) +\cdots+ (- 1)^\nu\frac{d^\nu}{dt^\nu}\left(\frac{\partial H}{\partial p_i^{(\nu)}}\right)\right\} = P_i \] definirt werden. Alsdann müssen die \(P_i\) Functionen der \(p_i\), \(p_i'\), ..., \(p_i^{(2\nu)}\) sein und die \(2\nu+1\) Gleichungen befriedigen: \[ \frac{\partial P_i}{\partial p_k^{(\tau)}} - \binom{\tau+1}1\frac d{dt}\left(\frac{\partial P_i}{\partial p_k^{(\tau+1)}}\right) + \binom{\tau+2}2\frac{d^2}{dt^2}\left(\frac{\partial P_i}{\partial p_k^{(\tau+2)}}\right) - \] \[ \cdots+ (-1)^{2\nu-1}\binom{2\nu}{2\nu-\tau}\frac{d^{2\nu- \tau}}{dt^{2\nu-\tau}}\left(\frac{\partial P_i}{\partial p_k^{2\nu}}\right) = (-1)^\tau\frac{\partial P_k}{\partial p_i^\tau}. \] Uebrigens ist die Arbeit schon 1897 zum Druck eingereicht worden; die Verspätung der Drucklegung hat es verschuldet, dass die in ihr geführte Untersuchung durch die von A. Hirsch in Math. Ann. 50, 429-441 (F. d. M. 29, 603, 1898, JFM 29.0603.01) veröffentlichte Abhandlung überholt ist.