Some multiform solutions of the partial differential equations of physical mathematics and their applications. (Q1515297)

Die von A. Sommerfeld angeregte Arbeit dehnt die Methode, welche Sommerfeld in mehreren Arbeiten, namentlich bei der Behandlung verzweigter Potentiale (vergl. F. d. M. 28, 699, 1897, JFM 28.0699.02), benutzt hat, auf andere Differentialgleichungen der Physik aus, eine Ausdehnung, auf die am Schluss der eben genannten Arbeit bereits hingewiesen war. Nachdem einleitend gezeigt ist, wie schon die Spiegelung an zwei sich schneidenden Ebenen auf eine mehrfache Ueberdeckung des Raumes und damit auf den Begriff des Riemann'schen Raumes führt, werden zunächst gewisse (im gewöhnlichen Sinne) vieldeutige Lösungen der Gleichung \[ \frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2} + \varkappa^2u = 0\tag{1} \] untersucht, Lösungen, die sich schon in Sommerfeld's Arbeit über Diffraction (vergl. F. d. M. 27, 706, 1896, JFM 27.0706.03) finden, für die hier aber eine neue Ableitung gegeben wird. Die bekannte Lösung von (1) \[ u_0 = e^{i\varkappa r\cos(\vartheta-\vartheta')} \] (\(r\), \(\vartheta\) Polarcoordinaten) lässt sich nach dem Cauchy'schen Satze durch das Integral \[ u_0 = \frac1{2\pi}\int e^{i\varkappa r\cos(a- \vartheta')}\frac{e^{ia}}{e^{ia}-e^{i\vartheta'}}d\alpha \] darstellen. Der Integrationsweg, der zunächst eine den Punkt \(\alpha=\vartheta'\) umschliessende Curve ist, wird dann so umgeformt, dass er parallel der imaginären Axe ins Unendliche geht; und nun ergiebt sich aus der vorstehenden eindeutigen sofort die mehrdeutige, um \(2\pi n\) periodische Lösung \[ u = \frac1{2\pi n}\int e^{i\varkappa r\cos(a- \vartheta)}\frac{e^{ia/n}}{e^{ia/n}-e^{i\vartheta'/n}}d\alpha, \] die als eindeutig auf einer \(n\)-blättrigen Riemann'schen Fläche angesehen werden kann. Besonderes Interesse hat der Fall \(n=2\), der weiter behandelt wird, und in dem das Resultat schliesslich auf die Form gebracht wird \[ u = \frac1{\sqrt{\pi}} e^{i[\varkappa r\cos(\vartheta- \vartheta')+\frac14\pi]}\int_{-\infty}^T e^{-i\lambda^2}d\lambda,\tag{2} \] wo \[ T = \sqrt{2\varkappa r}\cos\frac12(\vartheta-\vartheta') \] ist. (2) ist eine endliche und continuirliche Lösung von (1), die in Bezug auf \(\vartheta\) um \(4\pi\) periodisch ist, die ferner für \(r=+\infty\) in \(u_0\) übergeht, falls \(\vartheta-\vartheta'<\pi\), dagegen für \(r=+\infty\) verschwindet, wenn \(\pi<\vartheta-\vartheta'<3\pi\). Das Resultat lässt sich sofort anwenden auf die Diffraction des Schalls an der Halbebene \(y=0\), \(x>0\), falls die einfallenden Schallwellen eben und der \(z\)-Axe parallel sind. Die Lösung hat, abgesehen von dem die Zeit enthaltenden Factor, die Form \[ u(-\vartheta') + u(\vartheta'), \] wo \(u\) Ausdruck (2) ist. Weiter werden nach gleicher Methode vieldeutige Lösungen folgender Differentialgleichungen hergeleitet: \begin{itemize} \item[I.] von der bei der Schallbewegung auftretenden Differentialgleichung \[ \Delta u + k^2u = 0 \] unter der Voraussetzung, dass die Schallbewegung von einem Punkte ausgeht, so dass \[ u_0 = \frac1R e^{-ikR},\quad R^2 = r^2 + r'^2 + (z-z')^2 - 2rr'\cos(\vartheta-\vartheta') \] wird; \item[II.] wird dieselbe Aufgabe gelöst für den Fall, dass \(u\) von \(z\) unabhängig ist, für welchen Fall \[ u_0 = Y_0(kR) \] wird, unter \(Y_0\) die Bessel'sche Function zweiter Art verstanden; \item[III.] wird die Gleichung der Wärmeleitung \[ \frac{\partial u}{\partial t} = k\Delta u \] behandelt, für die \[ u_0 = \frac1{2^3(\pi kt)^{\frac32}}e^{-R^2/4kt},\quad R^2 = (x-x')^2 + (y-y')^2 + (z-z')^2, \] resp., falls \(u\) von \(z\) unabhängig, \[ u_0 = \frac1t e^{-R^2/4kt},\quad R^2 = (x-x')^2 + (y-y')^2 \] ist. \end{itemize} In allen Fällen wird u0 mittels des Cauchy'schen Satzes durch ein Integral dargestellt, der Integrationsweg ähnlich wie oben umgeformt und dann eine im gewöhnlichen Raume vieldeutige, im Riemann'schen Raume eindeutige Lösung dadurch gewonnen, dass man in jenem Integral statt des Factors \[ \frac{e^{ia}}{e^{ia}- e^{i\vartheta'}}\quad\text{setzt:}\quad\frac{e^{ia/n}}{e^{ia/n}- e^{i\vartheta'/n}}. \] Jedesmal wird ferner der Fall \(n=2\) weiter behandelt und die Resultate auf die Schallbewegung, resp. die Fortpflanzung der Wärme in einem Medium angewandt, das nur durch die Ebene \(y=0\), \(x>0\) begrenzt wird. Hinsichtlich der schliesslichen Resultate muss, da diese sich nicht in Kürze wiedergeben lassen, auf die Arbeit selbst verwiesen werden.