Sur l'intégrale des équations des petits mouvements d'un solide isotrope. (Q1515348)

Es handelt sich zunächst um einen neuen strengeren Beweis für das bekannte Theorem von Clebsch. Den Ausgangspunkt bildet der Satz: Wenn drei Functionen \(u\), \(v\), \(w\) gegeben sind, so, kann man, auf unendlich viele Weisen vier Functionen \(P_0\), \(Q_0\), \(R_0\), \(\theta_0\) finden von der Art, dass \[ u = \frac{\partial\theta_0}{\partial x} + \frac{\partial Q_0}{\partial z} - \frac{\partial R_0}{\partial y}\,\text{ u. s. w.}, \] während \(\frac{\partial P_0}{\partial x} + \frac{\partial Q_0}{\partial y} + \frac{\partial R_0}{\partial z}=0\). Sind \(P_0\), \(Q_0\), \(R_0\) und \(\theta_0\) harmonische Functionen, so existirt ein Potential \(\varphi\) der Grössen \(u\), \(v\), \(w\). Setzt man nun die gewonnenen Ausdrücke in die Gleichungen für die Verrückungen ein, so erhält man Gleichungen von der Form \[ \Delta\left[(\lambda+2\mu)\Delta\theta_0 - \varrho\frac{\partial^2\theta_0}{\partial t^2}\right] = 0, \] \[ \Delta\left[\mu\Delta P_0 - \varrho\frac{\partial^2P_0}{\partial t^2}\right] = 0, \] u. s. w. Bezeichnet man nun mit \(\Psi\), \(F\), \(G\), \(H\) gewisse harmonische Functionen, zwischen welchen die Gleichung \[ \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial G}{\partial y} + \frac{\partial H}{\partial z} = 0 \] besteht, so gelten für \[ P = P_0+F,\quad Q = Q_0+G,\quad R = R_0+H,\quad \theta_1 = \theta_0+\Psi \] die Gleichungen \[ (\lambda+2\mu)\Delta\theta_1 - \varrho\frac{\partial^2\theta_1}{\partial t^2} = 0, \] \[ \mu\Delta P - \varrho\frac{\partial^2P}{\partial t^2} = 0, \] u. s. w. Man erhält also mit den Lösungen \(P\), \(Q\), \(R\) und \(\theta_1\) dieser Differentialgleichungen für die Coordinaten der Verrückung die Ausdrücke \[ u = \frac{\partial\theta_1}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial y} + u'\,\text{ u. s. w.}, \] wo \[ u' = -\left(\frac{\partial\Psi}{\partial x} + \frac{\partial G}{\partial z} - \frac{\partial H}{\partial y}\right)\,\text{ u. s. w.} \] Nach dem anfangs erwähnten Satze folgt hieraus sofort, dass \(u'\) gleich \(\frac{\partial\Phi}{\partial x}\) sein müsse, wo \(\Phi\) eine harmonische Function ist, für welche sich die Form \[ \Phi = Z(t) + t A(x,y,z) + B(x,y,z) \] ergiebt. Aus den Ausdrücken für \(u'\) fällt \(Z(t)\) fort. Fügt man nun zu \(\theta_1\) den Ausdruck \(tA(x,y,z)+B(x,y,z)\), so erhält man eine Function \(\Theta\), welche der Gleichung \[ (\lambda+2\mu)\Delta\Theta - \varrho\frac{\partial^2\Theta}{\partial t^2} = 0 \] genügt. Mit Hülfe dreier Functionen kann man nun schreiben: \[ u = \frac{\partial\Theta}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial y}\,\text{ u. s. w.} \] Damit ist dann das Theorem von Clebsch bewiesen. In den letzten Abschnitten wird nun eine Erweiterung des Theorems gegeben. Dieselbe lautet: Man kann stets eine Function \(\theta\), welche der Differentialgleichung \((\lambda+2\mu)\Delta\theta - \varrho\frac{\partial^2\theta}{\partial t^2}=0\) genügt, und drei Lösungen \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) der Differentialgleichung \[ \mu\Delta\varpi^2 - \varrho\frac{\partial^2\varpi^2}{\partial t^2} = 0 \] so bestimmen, dass die Componenten der Verrückung werden: \[ \begin{aligned} u &= \frac{\partial\theta}{\partial x} - \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial\alpha}{\partial x} + \frac{\partial\beta}{\partial y} + \frac{\partial\gamma}{\partial z}\right) + \Delta\alpha,\\ v &= \frac{\partial\theta}{\partial y} - \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial\alpha}{\partial x} + \frac{\partial\beta}{\partial y} + \frac{\partial\gamma}{\partial z}\right) + \Delta\beta,\\ w &= \frac{\partial\theta}{\partial z} - \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial\alpha}{\partial x} + \frac{\partial\beta}{\partial y} + \frac{\partial\gamma}{\partial z}\right) + \Delta\gamma.\end{aligned} \]