On the influence of gravity on elastic waves, and in particular on the vibrations of an elastic globe. (Q1515349)

Vier Probleme aus der Elasticitätstheorie behandelt der Verf. in der Absicht, ein bestimmtes Urteil über den Einfluss verschiedener Umstände auf die Fortpflanzung von Erdbeben zu gewinnen. Im ersten Abschnitt wird die Fortpflanzung von Wellen in einem unendlich grossen Körper behandelt, welcher einerseits von einer Ebene begrenzt ist. Legt man nun die \(x\)-Axe in die Richtung der Fortpflanzungsgeschwindigkeit und die \(z\)-Axe in die zur Begrenzung senkrechte Richtung, so gelten die Gleichungen \[ \begin{aligned} \rho\frac{\partial^2u}{\partial t^2} &= (\lambda+\mu)\frac{\partial\Delta}{\partial x} + \mu\nabla^2u,\\ \rho\frac{\partial^2w}{\partial t^2} &= (\lambda+\mu)\frac{\partial\Delta}{\partial z} + \mu\nabla^2w,\end{aligned} \] wo \[ \Delta = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial w}{\partial z}. \] Wenn nun angenommen wird, dass die Compression vergleichsweise klein gegen die Componenten der Verrückung ist, so wird man in der dritten Gleichung an Stelle der linken Seite den Wert Null setzen dürfen; dagegen muss mit Rücksicht auf die Grösse von \(\lambda\) in den beiden anderen Gleichungen das Glied mit \(\triangle\) beibehalten werden. Setzt man \((\lambda+\mu)\Delta=p\), so werden die Gleichungen: \[ \begin{aligned} \rho\frac{\partial^2u}{\partial t^2} &= \frac{\partial p}{\partial x} + \mu\nabla^2u,\\ \rho\frac{\partial^2w}{\partial t^2} &= \frac{\partial p}{\partial z} + \mu\nabla^2w,\\ \Bigl[0 &= \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial w}{\partial z} \Bigr] .\end{aligned} \] Diesen Gleichungen wird nun eine Lösung angepasst, bei welcher alle Grössen die Form \(f(z)e^{i(pt+lx)}\) haben, und welche ausserdem der Grenzbedingung \[ \lambda\Delta + 2\mu\frac{\partial w}{\partial z} + g\rho w = 0 \] genügt. Wird nun \[ \zeta = \frac{\rho p^2}{\mu l^2} \] gesetzt, so ergiebt sich für \(\zeta\) die Gleichung \[ (2-\zeta)^2 - 4\sqrt{1-\zeta} - \zeta\frac{g\varrho}{\mu l} = 0. \] Für \(g=0\) stimmt diese Gleichung mit der von Rayleigh gefundenen überein und hat dann die Wurzel \(\zeta_0=0,91262\). Wird nun \(\zeta=\delta\zeta+\zeta_0\) gesetzt, so erhält man \[ \frac{\delta\zeta}{\zeta_0}=0,2178\frac{g\rho}{\mu l}. \] Daraus ergiebt sich für die Aenderung der Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Wert \[ \frac{V-V_0}{V_0}=0,1089\frac{g\rho}{\mu l}. \] Im zweiten Abschnitt wird nun in ganz ähnlicher Weise der Fall behandelt, dass der elastische Körper von einem Ocean constanter Tiefe bedeckt ist; während im vierten Kapitel der Fall erörtert wird, dass eine dünne elastische Platte über den anderen Körper gelagert und mit ihrer inneren Fläche an jenem Körper befestigt ist. Dagegen behandelt der dritte Abschnitt die Schwingungen einer elastischen Kugel unter Einfluss der eigenen Attraction.