Ueber die Fortpflanzung von ebenen Wellen in einem vollkommen elastischen, incompressiblen Medium mit Rücksicht auf die Brechung des Lichtes. (Q1515439)

In der Arbeit werden die Gesetze der Doppelbrechung aus der reinen Elasticitätstheorie abgeleitet; es werden also die Lichtschwingungen als identisch mit den elastischen Verschiebungen eines incompressiblen Mediums angesehen. Doch wird die Incompressibilität nicht von vorn herein, sondern erst im weiteren Verlaufe der Rechnung eingeführt; dadurch vor allem unterscheidet sich die vorliegende Darstellung von andern, auf denselben Principien beruhenden. Ferner wird die Untersuchung in doppelter Weise durchgeführt, einmal unter der Neumann'schen Annahme; dass jenes Medium nach verschiedenen Richtungen verschiedene Elasticität, aber gleiche Dichtigkeit besitzt, das andere Mal unter der Fresnel'schen Annahme eines Mediums von gleicher Elasticität und ungleicher Dichtigkeit. Unter Zugrundelegung der ersten Annahme werden die Gleichungen für die Bewegung des elastischen Mediums im Anschluss an Clebsch (Theorie der Elasticität fester Körper, 1862) in folgender Form hergeleitet: \[ \begin{aligned} \varrho\frac{\partial^2\xi}{\partial t^2} &= a\frac{\partial^2\xi}{\partial x^2} + J\frac{\partial^2\xi}{\partial y^2} + H\frac{\partial^2\xi}{\partial z^2} + (b+J)\frac{\partial^2\eta}{\partial x\partial y} + (c+H)\frac{\partial^2\zeta}{\partial x\partial z},\\ \varrho\frac{\partial^2\eta}{\partial t^2} &= (b+J)\frac{\partial^2\xi}{\partial x\partial y} + J\frac{\partial^2\eta}{\partial x^2} + d\frac{\partial^2\eta}{\partial y^2} + G\frac{\partial^2\eta}{\partial z^2} + (e+G)\frac{\partial^2\zeta}{\partial y\partial z},\\ \varrho\frac{\partial^2\zeta}{\partial t^2} &= (c+H)\frac{\partial^2\xi}{\partial x\partial z} + (e+G)\frac{\partial^2\eta}{\partial y\partial z} + H\frac{\partial^2\zeta}{\partial x^2} + G\frac{\partial^2\zeta}{\partial y^2} + f\frac{\partial^2\zeta}{\partial z^2}.\end{aligned} \] Dabei ist angenommen, dass das Medium in Bezug auf die Coordinatenebenen symmetrisch ist; \(\varrho\) ist die Dichtigkeit. Die Frage, wann den vorstehenden Gleichungen durch ebene Wellen genügt werden kann, führt in bekannter Weise auf eine Gleichung dritten Grades für das Quadrat der Fortpflanzungsgeschwindigkeit \(v\). Jetzt erst wird die Bedingung der Incompressibilität eingeführt, wodurch die in den obigen Gleichungen auftretenden Constanten \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\), \(f\) sämtlich unendlich werden, während \(G\), \(H\), \(J\) endlich bleiben. [Wegen dieses Unendlichwerdens der Constanten konnte nicht von vorn herein in den Differentialgleichungen die räumliche Dilatation gleich Null gesetzt werden, da die betreffenden Glieder sonst die unbestimmte Form \(0\cdot\infty\) annehmen würden.] Dadurch wird eine Wurzel der Gleichung für \(v^2\) unendlich gross, und nach Absonderung derselben bleibt für \(v^2\) eine quadratische Gleichung übrig. Weiter wird nun gefragt, unter welchen Bedingungen diese quadratische Gleichung auf die Form der Fresnel'schen Gleichung für \(v^2\) gebracht werden kann. Dazu ist nötig, dass zwischen den Schubelasticitätscoefficienten \(G\), \(H\), \(J\) und den Zugelasticitätscoefficienten \(E_x\), \(E_y\), \(E_z\) gewisse Beziehungen von folgender Form bestehen: \[ G = \frac{E_yE_z}{4k} = \frac S{4k}\cdot\frac1{E_x}. \] Bei Erfüllung dieser Bedingungen werden die den beiden Wurzeln der quadratischen Gleichung für \(v^2\) entsprechenden Schwingungen transversal und auf einander senkrecht. Die Anwendung der Resultate auf einaxige Medien endlich ergiebt, dass die Schwingungen bezüglich der Polarisationsebene gemäss der Neumann'schen Hypothese erfolgen. Nimmt man zweitens mit Fresnel an, dass die Elasticität nach verschiedenen Richtungen gleich, die Dichtigkeit aber verschieden ist, so werden die Grundgleichungen (wieder unter Annahme der Symmetrie in Bezug auf die drei Coordinatenebenen) \[ \varrho_1\frac{\partial^2\xi}{\partial t^2} = K\Delta\xi + K'\frac{\partial\theta}{\partial x},\quad \varrho_2\frac{\partial^2\eta}{\partial t^2} = K\Delta\eta + K'\frac{\partial\theta}{\partial y}, \] \[ \varrho_3\frac{\partial^2\zeta}{\partial t^2} = K\Delta\zeta + K'\frac{\partial\theta}{\partial z}. \] Darin bezeichnet \(\theta\) die räumliche Dilatation, \(\Delta\), wie üblich, die Summe der zweiten partiellen Ableitungen nach \(x\), \(y\), \(z\), \(K\) und \(K'\) Constanten. Behandelt man diese Gleichungen ebenso wie oben, wobei die Incompressibilitätsbedingung \(K'=\infty\) ist, so erhält man ebenfalls zwei transversale, auf einander senkrechte Schwingungen, aber die Gleichung für \(v^2\) und damit die Wellenfläche hat nicht mehr die Fresnel'sche Form. Die Elasticitätstheorie ist daher nur mit der Neumann'schen Anschauung über die Lage der Polarisationsebene vereinbar, ein Resultat, das zwar seit langer Zeit bekannt ist, hier aber in eigenartiger Weise abgeleitet wird.