Ueber einige Sätze der Potentialtheorie. (Q1515793)

1. Um das Potential \(V\) eines beliebigen einfach zusammenhängenden Raumes für einen Punkt dieses Raumes zu bestimmen, ist es nur nötig, irgend eine Function \(W\) zu ermitteln, welche innerhalb jenes Raumes der Gleichung \(\Delta W=-4\pi k\) genügt (\(k\) die Dichtigkeit) Dann folgt aus dem Green'schen Satze: \[ V = W - \frac1{4\pi}\int\left(W\frac{\partial\frac1E}{\partial N_i} - \frac1E\frac{\partial W}{\partial N_i}\right)d\omega, \] wobei die Integration rechts über die Oberfläche des in Rede stehenden Raumes zu erstrecken ist. Als Beispiel wird das Potential eines verlängerten Rotationsellipsoids berechnet, falls \(k\) eine ganze rationale Function der Coordinaten ist. Am einfachsten nimmt man für \(W\) ebenfalls eine ganze rationale Function der Coordinaten. 2. Ein Satz über das Potential einer Doppelbelegung, den der Verf. früher (cf. F. d. M. 28, 698, 1897, JFM 28.0698.01) für die Ebene abgeleitet hatte, wird für den Raum bewiesen. 3. Die Differentialquotienten des Potentials \(W\) einer Doppelschicht können durch die Differentialquotienten von drei Potentialen \(L\), \(M\), \(N\) gewisser einfacher Belegungen so dargestellt werden: \[ \frac{\partial W}{\partial x} = \frac{\partial N}{\partial y} - \frac{\partial M}{\partial z},\,\frac{\partial W}{\partial y} = \frac{\partial L}{\partial z} - \frac{\partial N}{\partial x},\,\frac{\partial W}{\partial z} = \frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}. \] 4. Die Eigenschaft des Potentials, dass \(rV\), \(r^2\frac{\partial V}{\partial x}\) etc., wie gross auch \(r\) wird, unter einer endlichen Grenze bleiben, ist eine Folge der übrigen charakteristischen Eigenschaften von \(V\) in Verbindung damit, dass \(V\) im Unendlichen verschwindet. Der Beweis wird geführt durch Anwendung des Green'schen Satzes auf den Raum zwischen zwei Kugeln, deren eine die anziehende Masse ganz umschliesst, während der Radius der anderen schiesslich unendlich gross wird.