Beiträge zur Potentialtheorie III. Ueber die Bestimmung der Anzahl der Nullstellen eines Systems von Functionen mehrerer Veränderlicher in einem gegebenen Bereiche und über die Berechnung der Werte einer gegebenen Function in diesem Punkte. (Q1515800)

Kronecker ist in seiner Arbeit über Systeme von Functionen mehrerer Variabeln (Berl. Monatsber. 1869, cf. F. d. M. 2, 203, 1869/1870, JFM 02.0203.02) mit Hülfe von Formeln der Potentialtheorie zu einer allgemeinen Darstellung beliebiger Functionen der durch ein Gleichungssystem definirten Punkte und damit zu einer Verallgemeinerung des sogenannten Cauchy'schen Integrals gelangt. Danach lässt sich die algebraische Summe aller Werte, welche eine gegebene Function \(\mathfrak F\) von \(n\) reellen Variabeln im Innern eines von einer \((n-1)\)-dimensionalen Mannigfaltigkeit begrenzten \(n\)- dimensionalen Gebiets annimmt an den Nullstellen eines Systems von \(n\) Functionen dieser Variabeln, ausdrücken durch ein \(n\)-faches, über das Innere, und ein \((n-1)\)-faches über den Rand des Gebiets erstrecktes Integral. Dabei sind aber die Werte der Function \(\mathfrak F\) an jenen Nullstellen noch versehen je mit dem Vorzeichen der Functionaldeterminante der \(n\) Functionen des Systems an eben diesen Stellen. Diese ``Kronecker'sche Transformation der Gauss'schen Formel für die Potentialgleichung'' wird in \S\ 1 der vorliegenden Arbeit aufs neue abgeleitet, und daran werden neue Formeln geknüpft, welche die Summe der Werte der Function \(\mathfrak F\) an den Nullstellen jenes Functionensystems, statt durch eine Summe aus einem \(n\)-fachen und einem \((n-1)\)-fachen Integral, geben mit Hülfe eines \((k-k)\)-fachen und eines \((n-k-1)\)-fachen Integrals \((K=0,1,\dots,n-21)\), endlich eines einfachen Integral und einer Summe. Dabei sind für jeden Wert von \(k\) noch \(\binom nk\) verschiedene Darstellungen möglich. Um zu diesen neuen Formeln zu gelangen, hat man nur, statt, wie Kronecker, von der Betrachtung des Potentials einer \(n\)- dimensionalen Masse auszugehen, die Formeln für das Potential einer \((n- k)\)-dimensionalen Masse zu Grunde zu legen, welche über einen ebenen, \((n-k)\)-dimensionalen Schnitt der ersteren ausgebreitet ist; und nachher sind, wie bei Kronecker, in den Potentialformeln neue Variabeln einzuführen. Uebrigens gehen die gewonnenen Formeln, wenn man \(\mathfrak F=\) const. setzt, in die im ersten Teile der Beiträge (cf. F. d. M. 26, 461, 1895, JFM 26.0461.01) aufgestellten Integrale für die Charakteristik eines Functionensystems über, und die dort gemachte Bemerkungen gelten auch hier. Ferner wird gezeigt, wie man sich von dem Vorzeichen der Functionaldeterminante, mit dem die Werte von \(\mathfrak F\) noch versehen waren, freimachen kann. Man hat nur nötig, falls \(F_1\), \(F_2\), ..., \(F_n\) die Functionen sind, deren Nullstellen in Betracht kommen, \(\Delta_0\) ihre Functionaldeterminante, als Dichtigkeitsfunction statt der früheren Function \(\mathfrak F\) die Function \[ \frac{\lambda\Delta_0} {\sqrt{F_1^2+F_2^2+\cdots+F_n^2+\lambda^2\Delta_0^2}}\cdot\mathfrak F\tag{1} \] zu nehmen, wo \(\lambda\) irgend eine Constante ist oder auch eine stetige Function, die an allen Nullstellen positiv ist. Damit hat man die definitiven Formeln für die Bestimmung der Summe der Functionswerte von \(\mathfrak F\) an den Nullstellen der \(F_i\). Auch die Summe der absoluten Beträge von \(\mathfrak F\) an diesen Stellen ergiebt sich leicht. Für den Fall \(\mathfrak F=1\) folgen aus den letzten Formeln sofort die von Picard auf einem anderen Wege abgeleiteten Formeln zur Bestimmung der Anzahl der Nullstellen des Functionensystems \(F_i\). Andererseits lassen sich die Nullstellen dieses Systems selbst aus den Dyck'schen Integralformeln berechnen, wenn man an Stelle der in (1) auftretenden Function \(\mathfrak F\) successive verschiedene Potenzen einer der unabhängigen Variabeln \(z\) nimmt. Endlich wird noch gezeigt, wie man die Grenzen des \(n\)-dimensionalen Gebiets, über welches die Integration zu erstrecken ist, abändern kann.