Ueber die Beugungsfigur im Fernrohr weit ausserhalb des Focus. (Q1515899)

In den Arbeiten von Struve und E. v. Lommel (über letztere vergl. F. d. M. 16, 924, 1884, JFM 16.0924.01) sind die Beugungsfiguren in Fernröhren zuerst exact behandelt. Doch beschränken sich beide Autoren auf die Betrachtung von Einstellungen in ziemlicher Nähe des Focus. Ihre Entwickelungen bedürfen daher einer Ergänzung, die auch Einstellungen weit ausserhalb des Focus berücksichtigt. Die für letzteren Fall gültigen Formeln werden in der vorliegenden Arbeit abgeleitet. Aus dem Huygens'schen Princip erhält man für die Lichtintensität in irgend einem Punkte \(P\) hinter dem Objectiv den Ausdruck \[ I = S^2 + T^2, \] wo \[ W = S + iT = \frac{mi}{2\pi}\int_0^1\int_0^{2\pi} e^{-\frac12im(r^2- 2rp\cos\varphi+p^2)}rdrd\varphi \] ist. Ferner ist \[ p = \frac vu\frac1{2\sin\frac{\vartheta_1}2},\quad m = \frac{2\pi}{\lambda}\frac{fu}{f-u}4\sin^2 \frac{\vartheta_1}2,\quad r = \frac{\frac{\vartheta}2}{\frac{\vartheta_1}2}; \] \(u\) und \(v\) sind die relativen Coordinaten von \(P\) in Bezug auf den Brennpunkt des Objectivs, und zwar \(u\) parallel, \(v\) senkrecht zur Axe; \(f\) ist der Abstand des Brennpunktes von der in das Objectiv eingetretenen (kugelförmig angenommenen) Wellenfläche, \(\vartheta_1\) der halbe Oeffnungswinkel des Objectivs. Dabei ist der constante Factor von \(W\) passend gewählt, und die Glieder dritter Ordnung von \(2\sin\frac{\vartheta}2\) sind vernachlässigt. Das Integral \(W\) wird nun in die Differenz zweier andern zerlegt, \(W=W_1-W_2\), so dass die Grenzen von \(r\) in \(W_1\) 0 und \(\infty\), in \(W_2\) dagegen 1 und \(\infty\) werden. Dann folgt \[ W_1 = 1,\quad W_2 = mi\int_1^\infty e^{-\frac12im(r^2+p^2)}J_0(mpr)rdr, \] unter \(J_0\) die Bessel'sche Function verstanden. Durch Benutzung der ersten Glieder der semiconvergenten Reihe für \(J_0\), die ausreichend sind, so lange nicht \(p\) sehr klein ist, d. h. so lange es sich nicht um Punkte nahe der Axe handelt, und durch teilweise Integration ergiebt sich weiter \[ W_2 = \frac1{\sqrt{2\pi mp}}\frac{e^{-\frac12im(1-p)^2-\frac14\pi i}}{1- p} - \frac1{\sqrt{2\pi pm}}\frac{e^{-\frac12im(1+p)^2+\frac14\pi i}}{1+p} + R. \] Eine Discussion des Restes \(R\) lässt erkennen, dass \(R\) vernachlässigt werden kann, wenn nicht \(p\) nahe \(=0\) oder nahe \(=1\) ist. Eine Umformung des Integrals \(W_2\) ergiebt ferner folgende andere Formel, die auch für grössere \(p\), insbesondere für \(p=1\), d. h. für Randpunkte, brauchbar ist: \[ \begin{multlined} W_2 = \frac1{\sqrt{2\pi mp}}\frac{e^{- \frac12im(1+p)^2+\frac14\pi i}}{1+p} + \frac1{\sqrt{2\pi mp}}\frac{e^{- \frac12im(1-p)^2-\frac14\pi i}}{1+\sqrt p}\\ + i\sqrt{\frac m{2\pi}}\int_1^\infty e^{-\frac12mi(r-p)^2-\frac14\pi i}dr + R';\end{multlined} \] und das in letzterem Ausdruck auftretende Integral lässt sich mittels gewisser, von Lommel in der citirten Arbeit abgeleiteter Formeln berechnen. \(R'\) kann wieder vernachlässigt werden. So sind die Mittel gewonnen, um für ein grosses \(m\), d. h. weit ausserhalb des Focus, die Intensität \(I\) des Beugungsbildes zu berechnen. Aus den Formeln werden folgende Schlüsse gezogen, die eine einfache Deutung des anscheinend so verwickelten Verlaufs der Lichtintensität geben: Ueber die mittlere Intensität lagern sich zwei Wellenzüge, deren einzelne Windungen nahezu die Form von Sinuscurven haben. Die Schwankungen der Intensität um den Mittelwert betragen in der Nähe des halben Radius für \(m=900\) (was einer Verschiebung von 3 cm aus dem Focus bei einem Fernrohr von 30 cm Oeffnung und 3 m Brennweite entspricht) nur etwa 11 Procent. Stärker sind die Schwankungen am Rande des geometrischen Bildes. Hier beträgt die Intensität \(\frac14\) der Durchschnittsintensität, sie sinkt nach aussen, in den geometrischen Schatten hinein, beständig und schnell; nach innen wächst sie und erreicht ein Maximum. Die ganze Beugungsfigur erscheint demnach umgeben von einem hellen, durch einen relativ dunklen Zwischenraum abgetrennten Ringe, der mit wachsendem m an scheinbarer Breite und damit an Deutlichkeit zunimmt, während die Breite der Ringe, die im mittleren Gebiet der Beugungsfigur auftreten, unabhängig ist von der Grösse der Verschiebung aus dem Focus.