Ueber ein Interpolationsverfahren von Tschebyschef. (Q1516161)

Wenn eine Function \(G(\varphi)\) in eine trigonometrische Reihe: \[ G(\varphi) = A + A'\cos\varphi + A''\cos2\varphi + \cdots \] entwickelt werden soll, so kann man bei der Berechnung der \(A\), wenn man nur eine endliche Anzahl der Glieder, etwa \(n\) nimmt, die Integrale durch Summen \[ \sum_\varphi G(\varphi)\cdot\cos q\varphi\text{ und }\sum_\varphi G(\varphi)\cdot\sin q\varphi \] ersetzen, wobei \(\varphi\) über die Ecken eines regulären \(n\)-Ecks genommen wird. Diese Interpolation kann durch eine andere, sehr merkwürdige, von Tschebyschef angegebene, ersetzt werden, bei welcher der Kreis in 2, 4, 6, 8 etc. Teile zu teilen ist. Man braucht dabei von der Function \(G\) viel mehr Werte; dafür fällt dann aber der Factor \(\cos q\varphi\), resp. \(\sin q\varphi\) fort, und die zugehörigen Rechnungen beschränken sich fast nur auf directe Additionen und Subtractionen. Die Ableitung der Formeln ist nicht einfach, auch eignen sie sich nicht zur Wiedergabe in einem Referate; wenn aber die Werte von \(G\) schnell berechnet werden können, so hat die Tschebyschef'sche Methode den grossen Vorzug, dass man nicht von vorn herein sich auf ein bestimmtes \(n\) zu beschränken braucht, sondern dass, ohne dass die früheren Rechnungen verworfen werden müssen, sofort nach Belieben die Interpolation weiter fortgesetzt werden kann.