On a law of combination of operators. (Second paper.) (Q1516644)

Es wird die Formel gesucht, welche der Formel \(e^ye^x=e^{y+x}\) entspricht, falls die Operatoren \(x\) und \(y\) den Distributions- und Associationsgesetzen, nicht aber den Commutationsgesetzen gehorchen. Bedeutet \(y_1=yx-xy\), \(y_r=y_{r-1}x-xy_{r-1}\), \((p,q)=y_py_q-y_qy_p\) etc., so wird folgende Formel bewiesen: Sind \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), ... die Reihe numerischer Constanten, die schon in einer früheren Abhandlung des Verf. eingeführt wurden (Lond. M. S. Proc. 28, 381; F. d. M. 28, 321, 1897, JFM 28.0321.01), und welche mit den Bernoulli'schen Zahlen durch die Gleichung \(a_{2n}=(-1)^{n-1}\frac{B_{2n-1}}{2n!}\) verbunden sind, und \(b_{pq}\), \(b_{pqr}\) etc. andere durch die \(a\) bestimmte Zahlen, so gilt die Gleichung: \[ e^ye^x = e^w,\text{ wo }w = x +y + a_1y_1 + \cdots + \sum b_{pq}(pq) + \cdots. \] Diese Formel wird dann noch verallgemeinert in \(e^{w_1}e^{w_2}=e^{w_3}\), wo \[ w_1 = a_1x_1 + \cdots + a_nx_n + a_{pq}(pq)+ \cdots + a_{pqr}(pqr) + \cdots \] und \(w_2\) und \(w_3\) hieraus durch Vertauschung von \(a\) mit \(b\) und \(c\) entstehen, wo \(a\) und \(b\) beliebige und \(c\) hiervon abhängige Constanten bedeuten.