Essay on the general theory of iteration and on the classification of transcendents. (Q1516692)

Die weitschichtige Abhandlung bemüht sich, den Gedanken von E. Galois zu verwirklichen, der in den Schlusszeilen des berühmten Briefes an A. Chevalier ausgesprochen ist: ``Il s'agissait dc voir a priori, dans une relation entre des quantités ou fonctions transcendantes, quels échanges on pouvait faire, quelles quantités on pouvait substituer aux quantités données, sans que la relation pût cesser d'avoir lieu. Cela fait reconnaître de suite l'impossibilité de beaucoup d'expressions que l'on pourrait chercher. Mais je n'ai pas le temps, et mes idées ne sont pas encore bien développées sur ce terrain qui est immense.'' Wie die Theorie von Galois Mittel an die Hand giebt, um alle zwischen den Wurzeln eines Systemes von Gleichungen bestehenden rationalen Beziehungen aufzustellen, so sollen auch in der Theorie der Differentialgleichungen Methoden ausfindig gemacht werden, um alle zwischen den Lösungen des Differentialgleichungssystemes und ihren Ableitungen bestehenden algebraischen Beziehungen aufzustellen und zu beherrschen. Demgemäss giebt der erste Teil der in drei Abschnitte zerfallenden Abhandlung eine Darstellung der Theorie von Galois, wobei der Verf. merkwürdiger Weise bis auf die Elemente zurückgeht. Der zweite Teil setzt die Begriffe der vollständig integrablen Systeme und der logischen Integration auseinander. Ein System von Differentialgleichungen wird vollständig integrabel genannt, wenn die sämtlichen Gleichungen mit einander verträglich sind und zur Aufstellung aller zwischen den Lösungen und ihren Ableitungen bis zu einer bestimmten Ordnung hin bestehenden algebraischen Beziehungen ausreichen. Unter logischer Integration versteht der Verf. die Zurückführung eines gegebenen Differentialgleichungssystemes auf ein vollständig integrables und irreducibles System. Im dritten Teile überträgt sodann der Verf. die Methoden der Galois'schen Substitutionentheorie auf die Lehre von den linearen homogenen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung. Bilden \(z_1\), \(z_2\), ..., \(z_n\) ein Fundamentalsystem für die Differentialgleichung \[ \frac{\partial z}{\partial x} + A_1\frac{\partial z}{\partial x_1} + \cdots + A_n\frac{\partial z}{\partial x_n}=0, \] so besteht zwischen diesem und einem anderen Fundamentalsystem irgend eine Substitution der allgemeinen Gruppe \(\Gamma_n\) aller Punkttransformationen. Besteht aber überdies zwischen \(z_1\), \(z_2\), ..., \(z_n\) eine algebraische Beziehung, so dürfen alsdann nur solche Substitutionen einer Untergruppe \(\Gamma\) angewandt werden, welche jene algebraische Gleichung intact lassen. Man gelangt so zum Begriff der Rationalitätsgruppe, welche die folgenden Eigenschaften besitzt: Alle rationalen Differentialinvarianten von \(\Gamma\) drücken sich, wenn man \(z_1\), \(z_2\), ..., \(z_n\) als Functionen von \(x_1\), \(x_2\), ..., \(x_n\) betrachtet, rational durch die \(x\) aus; jede Function der \(z\), welche sich rational durch die \(x\) ausdrückt, ist eine Function der Differentialinvarianten. Durch successive Adjunction von Transcendenten kann man, analog wie in der Theorie von Galois, die Rationalitätsgruppe \(\Gamma\) auf einfache, d. h. auf solche Gruppen zurückführen, welche keine invariante Untergruppe besitzen. Die Ausführungen des Verfassers sind durchweg ganz allgemein gehalten, und eine Darlegung der Anwendbarkeit der eingeführten Begriffsbildungen auf wirklich interessante Einzelprobleme wäre sehr wünschenswert.