On types of growth and on entire functions. (Q1516694)

Eine mit \(r\) ins Unendliche wachsende Function \(\varphi(r)\) wird zum Exponentialtypus gehörend genannt, wenn eine positive Zahl \(\varrho\) existirt, so dass für beliebig kleines \(\varepsilon\) die Ungleichungen \(e^{r^{\varrho-\varepsilon}}<\varphi(r)<e^{r^{\varrho+\varepsilon}}\) bei hinreichend grossem \(r\) gelten. Ordnet man nun einer ganzen Function von endlichem Geschlecht eine positive wachsende Function \(M(r)\) zu, welche den Maximalwert des absoluten Betrags der Function für \(|z|=r\) angiebt, und setzt man den absoluten Betrag \(a_n\) der \(n^{\text{ten}}\) Nullstelle gleich \(\theta(n)\), so gilt der Satz: ``Wenn die Function \(M(r)\) zum Exponentialtypus gehört, so ist das Gleiche mit \(\theta(n)\) der Fall und umgekehrt'', mit einer einzigen von Picard (Ann. de l'Ec. Normale 1880) angegebenen Ausnahme. Die Beweise der angegebenen Sätze sind seither in dem Buche ``Leçons sur les fonctions entières'' 1900 erfolgt.