On the singular points of a function defined by a Taylor expansion. (Q1516710)

Betrachtet man in der Reihe \(f(z)=\sum\limits_0^\infty \alpha_nz^n\), deren Convergenzradius gleich 1 vorausgesetzt wird, den Coefficienten \(\alpha_n\) als Function von \(n\), so ergeben sich aus gewissen Annahmen über die Natur dieser Function \(\alpha_n\) Sätze über die analytische Fortsetzung von \(f(z)\). Wir führen als Beispiel den Satz an: Wenn \(\alpha_n\) nach Potenzen von \(t=\frac n{n+1}\) in eine Reihe entwickelbar ist, die noch für \(t=1\) absolut convergirt, so ist \(f(z)\) in der ganzen Ebene nach Ausschluss des Stückes \(z=1\dots+\infty\) der reellen Axe holomorph. Der Beweis beruht auf der Darstellung von \(f(z)\) durch ein bestimmtes Integral der Gestalt \(\int\limits_0^1\varphi(y)\frac{dy}{(1-zy)^2}\). (Vergl. auch S. 212 dieses Bandes, JFM 29.0212.02).