On a transformation that preserves the equation \(\Delta_2\Delta_2=0\). (Q1516730)

Bezeichnet \(\Delta u\) wie gewöhnlich \(\frac{\partial^2u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2u}{\partial y^2}\), und bildet man den Differentialausdruck \(\Delta(\Delta(u))\), so besitzt dieser Invarianteneigenschaft gegenüber der Transformation \[ x' = \frac x{x^2+y^2},\,y' = \pm\frac y{x^2+y^2},\,u' = \frac u{x^2+y^2}.\tag{1} \] Es ist nämlich \[ \Delta'(\Delta'u') = (x^2+y^2)^3\cdot\Delta(\Delta u), \] wobei \(\Delta' = \frac{\partial^2}{\partial x'^2} + \frac{\partial^2}{\partial y'^2}\). Diese Thatsache lässt sich für die Integration der Gleichung \(\Delta(\Delta u)=0\) für ein von zwei sich nicht schneidenden Kreisen begrenztes Gebiet verwenden, da die beiden Kreise durch Transformation nach reciproken Radien in zwei concentrische Kreise übergeführt werden können. Die Transformation (1) ist im wesentlichen die einzige Transformation in sich, welche der Ausdruck \(\Delta(\Delta u)\) zulässt.