Fuchsian functions and the equation \(\Delta u=e^u\). (Q1516732)

Wenn eine algebraische Gleichung (1) \(f(Z,Z')=0\) dadurch befriedigt wird, dass \(Z\) und \(Z'\) als Fuchs'sche Functionen eines Parameters \(z\) dargestellt werden, und man setzt, indem man die Conjugirten zu \(z\) und \(Z\) mit \(z_0\) und \(Z_0\) bezeichnet: \[ dS = \sqrt{dZ\cdot dZ_0},\,ds = \frac{\sqrt{dz\cdot dz_0}}{1- zz_0},\tag{2} \] ist \(dS\) das Bogenelement für die Variable \(Z\), \(ds\) das im Sinne der nichteuklidischen Geometrie ausgewertete Bogenelement für die Variable \(z\). Setzt man ferner \(\frac{ds^2}{dS^2}=e^u\), so ist \(u\) eine reelle Grösse, welche als Function von \(X\) und \(Y\) (\(Z=X+iY\)) der Differentialgleichung genügt: \[ \Delta u = \frac{\partial^2u}{\partial X^2} + \frac{\partial^2u}{\partial Y^2} = 8e^u.\tag{3} \] Die Darstellung eines gegebenen algebraischen Gebildes durch Fuchs'sche Functionen eines Parameters kann hiernach auf die Integration der Differentialgleichung (3) unter gewissen noch näher zu bestimmenden Unstetigkeitsbedingungen zurückgeführt werden. Zur Integration der Gleichung (3) schlägt der Verf. einen neuen Weg ein. Er führt eine geschlossene \((2p+1)\)-fach zusammenhängende Klein'sche Fläche ein, welche den imaginären Punkten der Curve (1) eindeutig entspricht, bezeichnet ihr Oberflächenelement mit \(d\omega\), das entsprechende Flächenelement der \(Z\)-Ebene mit \(d\Omega\) und setzt \[ Du = \Delta u\frac{d\Omega}{d\omega},\,e^U = e^u\frac{d\Omega}{d\omega}.\tag{4} \] Dann ist die Function \(U\) unabhängig von der Wahl der Function \(Z\), welche auf dem algebraischen Gebilde als unabhängige Variable zu Grunde gelegt wird, und genügt der Differentialgleichung \[ DU = 8e^U-\Phi,\tag{5} \] wobei \(\Phi=-D\log\frac{d\Omega}{d\omega}\) eine endliche bekannte Function ist. Wenn die Fuchs'sche Function von der ersten Art ist, ist auch die Function \(U\) auf der ganzen Klein'schen Fläche endlich; in den anderen Füllen wird man durch Transformation auf die verallgemeinerte Differentialgleichung: \[ DU = \Theta e^U-\Phi\tag{5a} \] geführt, wo \(U\) durchweg endlich ist und \(\Theta\) eine bekannte, durchweg positive Function bedeutet. Der Verf. leitet nun zunächst einige Ungleichungen ab, die daraus folgen, dass im Falle des Maximums \(DU\) negativ, im Falle des Minimums \(DU\) positiv ist. Er beginnt sodann mit der Integration der Gleichung \[ Du = \varphi,\tag{6} \] wo \(\varphi\) eine gegebene Function bedeutet; diese Integration ist dann und nur dann ausführbar, wenn das über eine Klein'sche Fläche erstreckte Integral \(\int\varphi d\omega=0\) ist. Er gründet hierauf die Integration der Gleichung \[ Du = \lambda\eta u - \varphi - \lambda\psi,\tag{7} \] wo \(\eta\), \(\varphi\), \(\psi\) drei gegebene Functionen bedeuten, \(\lambda\) einen positiven Parameter, und \(\eta\) positiv ist. Diese Integration wird zuerst unter der Voraussetzung der Endlichkeit von \(\eta\) geleistet, sodann aber auch in dem Falle welcher eintritt, wenn das Fundamentalpolygon Ecken auf dem Einheitskreise besitzt und die Function \(\eta\) hierdurch unendlich wie \(\frac1{x^2\log^2x}\) wird; dem letzteren Falle ist der grösste und schwierigste Teil de Untersuchung gewidmet. Hiernach wird schliesslich die Integration der Gleichung \[ Du = \theta e^u - \varphi - \lambda\psi\tag{8} \] vollzogen, wobei \(\theta\), \(\varphi\), \(\psi\) bekannte positive Functionen bedeuten und \(\lambda\) einen positiven Parameter, zuerst für \(\lambda=0\), sodann für beliebige positives \(\lambda\). Die Gleichung (5a) kann somit integrirt werden, vorausgesetzt, dass das über die Klein'sche Fläche erstreckte Integral \(\int\Phi d\omega>0\) ist; es wird schliesslich gezeigt, dass diese Bedingung bei den Anwendungen auf die Fuchs'schen Functionen erfüllt ist.