A particular class of hyperabelian groups. (Q1516733)

Die Abhandlung, welche an eine Untersuchung Picard's anschliesst (C. R.98, 665 und 904, F. d. M. 16, 95, JFM 16.0095.04, und 447, JFM 16.0447.01, 1884; Journ. de Math. (4) 1, 87; F. d. M. 17, 492, 1885, JFM 17.0492.01), zerfällt in drei Teile. Im ersten Teile werden die linearen homogenen Substitutionen untersucht, welche die quadratischen quaternären Formen im allgemeinen und die Form \(u_1^2-Du_2^2+u_3u_4\) im besonderen in sich transformiren, und es wird der besondere Fall erörtert, dass die Substitution ganzzahlig ist. Die Gruppe der ganzzahligen Substitutionen, welche die Form \(u_1^2-Du_2^2+u_3u_4\) in sich überführen, ist isomorph der Gruppe der linearen Transformationen der Function \(\vartheta(0,0|\tau_{11},\tau_{12},\tau_{22})\), wenn \(\tau_{11}=- \frac{2\sqrt D}{\xi+\eta}\), \(\tau_{12}=\sqrt D\frac{\xi-\eta}{\xi+\eta}\), \(\tau_{22}=\frac{2\sqrt{D}\xi\eta}{\xi+\eta}\) gesetzt wird. Es wird im zweiten Teile gezeigt, dass diese Gruppe discontinuirlich ist für die Werte von \(\xi=\xi_1+i\xi_2\), \(\eta=\eta_1+i\eta_2\), welche dem Gebiete \(S\) angehören, in dem \(\xi_2\) und \(\eta_2\) positiv sind, und dass sie sich aus fünf Fundamentalsubstitutionen zusammensetzen lässt. Die Gruppe bietet zahlreiche Analogien zur Modulgruppe dar und besitzt wie diese unendlich viele Untergruppen. Im dritten Teile endlich werden die entsprechenden Veränderungen der zehn geraden Thetafunctionen \(\vartheta(0,0|\tau_{11},\tau_{12},\tau_{22})\) erörtert, und hieraus wird ein Verfahren abgeleitet, um unendlich viele bei den Substitutionen der Gruppe invariante Functionen herzustellen. Irgend drei dieser Functionen sind durch eine algebraische Gleichung verbunden. Die Moduln von Borchardt und die von Richelot sind gewissen Untergruppen der Gruppe gegenüber invariant.